Giải tích Ví dụ

$y = 4 - x^{2}$ , $[- 2, 2]$

Bước 1

Kiểm tra xem $f (x) = 4 - x^{2}$ có liên tục không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 1.2

$f (x)$ liên tục trên $[- 2, 2]$ .

Hàm số liên tục.

Bước 2

Kiểm tra xem $f (x) = 4 - x^{2}$ có khả vi không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 - x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 2.1.1.1.2

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 2.1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Bước 2.1.1.2.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$0 - 2 x$

Bước 2.1.1.3

Trừ $2 x$ khỏi $0$ .

$f' (x) = - 2 x$

Bước 2.1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- 2 x$ .

$- 2 x$

Bước 2.2

Tìm nếu đạo hàm liên tục trên $[- 2, 2]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 2.2.2

$f' (x)$ liên tục trên $[- 2, 2]$ .

Hàm số liên tục.

Bước 2.3

Hàm số khả vi trên $[- 2, 2]$ vì đạo hàm liên tục trên $[- 2, 2]$ .

Hàm số này khả vi.

Bước 3

Để đảm bảo độ dài cung, cả hàm số và đạo hàm của nó phải liên tục trong khoảng đóng $[- 2, 2]$ .

Hàm số và đạo hàm của nó liên tục trên khoảng đóng $[- 2, 2]$ .

Bước 4

Tìm đạo hàm của $f (x) = 4 - x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 - x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 4.1.2

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 4.2

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 4.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Bước 4.2.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$0 - 2 x$

Bước 4.3

Trừ $2 x$ khỏi $0$ .

$- 2 x$

Bước 5

Để tìm độ dài cung của một hàm số, hãy sử dụng công thức $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ .

$\int_{- 2}^{2} \sqrt{1 + {(- 2 x)}^{2}} d x$

Bước 6

Tính tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Giả sử $x = \frac{1}{2} \tan (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ dương.

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{1 + 4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 6.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn $\sqrt{1 + 4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\tan (t)$ .

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{1 + 4 {(\frac{\tan (t)}{2})}^{2}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 6.2.1.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\tan (t)}{2}$ .

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{1 + 4 \frac{\tan^{2} (t)}{2^{2}}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 6.2.1.1.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{1 + 4 \frac{\tan^{2} (t)}{4}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 6.2.1.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{1 + 4 \frac{\tan^{2} (t)}{4}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 6.2.1.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{1 + \tan^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 6.2.1.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 6.2.1.3

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{\sec^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 6.2.1.4

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sec (t) \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 6.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Kết hợp $\sec (t)$ và $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ .

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \frac{\sec (t) \sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 6.2.2.2

Nhân $\sec (t)$ với $\sec^{2} (t)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.2.1

Nhân $\sec (t)$ với $\sec^{2} (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.2.1.1

Nâng $\sec (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \frac{\sec^{1} (t) \sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 6.2.2.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \frac{{\sec (t)}^{1 + 2}}{2} d t$

Bước 6.2.2.2.2

Cộng $1$ và $2$ .

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \frac{\sec^{3} (t)}{2} d t$

Bước 6.3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sec^{3} (t) d t$

Bước 6.4

Áp dụng công thức rút gọn.

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766} + \frac{1}{2} \int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sec (t) d t)$

Bước 6.5

Tích phân của $\sec (t)$ đối với $t$ là $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766} + \frac{1}{2} \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766})$

Bước 6.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2})$

Bước 6.6.2

Để viết $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2})$

Bước 6.6.3

Kết hợp $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766} \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2})$

Bước 6.6.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766} \cdot 2 + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2}$

Bước 6.6.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2}$

Bước 6.6.6

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2}$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2 \cdot 2}$

Bước 6.6.7

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{4}$

Bước 6.7

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.1

Tính $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}$ tại $1.32581766$ và tại $- 1.32581766$ .

$\frac{2 ((\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2}) - \frac{\tan (- 1.32581766) \sec (- 1.32581766)}{2}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{4}$

Bước 6.7.2

Tính $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ tại $1.32581766$ và tại $- 1.32581766$ .

$\frac{2 ((\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2}) - \frac{\tan (- 1.32581766) \sec (- 1.32581766)}{2}) + (\ln (| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |)) - \ln (| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |)}{4}$

Bước 6.7.3

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} - \frac{\tan (- 1.32581766) \sec (- 1.32581766)}{2}) + \ln (| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |) - \ln (| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |)}{4}$

Bước 6.8

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} - \frac{\tan (- 1.32581766) \sec (- 1.32581766)}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Bước 6.9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.9.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.9.1.1

Tính $\tan (- 1.32581766)$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} - \frac{- 4 \sec (- 1.32581766)}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Bước 6.9.1.2

Tính $\sec (- 1.32581766)$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} - \frac{- 4 \cdot 4.12310562}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Bước 6.9.2

Nhân $- 4$ với $4.12310562$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} - \frac{- 16.4924225}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Bước 6.9.3

Chia $- 16.4924225$ cho $2$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} - - 8.24621125) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Bước 6.9.4

Nhân $- 1$ với $- 8.24621125$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} + 8.24621125) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Bước 6.9.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.9.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.9.5.1.1

Tính $\tan (1.32581766)$ .

$\frac{2 (\frac{4 \sec (1.32581766)}{2} + 8.24621125) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Bước 6.9.5.1.2

Tính $\sec (1.32581766)$ .

$\frac{2 (\frac{4 \cdot 4.12310562}{2} + 8.24621125) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Bước 6.9.5.2

Nhân $4$ với $4.12310562$ .

$\frac{2 (\frac{16.4924225}{2} + 8.24621125) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Bước 6.9.5.3

Chia $16.4924225$ cho $2$ .

$\frac{2 (8.24621125 + 8.24621125) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Bước 6.9.6

Cộng $8.24621125$ và $8.24621125$ .

$\frac{2 \cdot 16.4924225 + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Bước 6.9.7

Nhân $2$ với $16.4924225$ .

$\frac{32.984845 + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Bước 6.9.8

$\sec (1.32581766) + \tan (1.32581766)$ xấp xỉ $8.12310562$ , là một số dương, nên ta loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

$\frac{32.984845 + \ln (\frac{\sec (1.32581766) + \tan (1.32581766)}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Bước 6.9.9

$\sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766)$ xấp xỉ $0.12310562$ , là một số dương, nên ta loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

$\frac{32.984845 + \ln (\frac{\sec (1.32581766) + \tan (1.32581766)}{\sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766)})}{4}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{32.984845 + \ln (\frac{\sec (1.32581766) + \tan (1.32581766)}{\sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766)})}{4}$

Dạng thập phân:

$9.29356752 \dots$

Bước 8