Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{5} 3000 e^{- 0.05 x} d x$

Bước 1

Vì $3000$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3000$ ra khỏi tích phân.

$3000 \int_{0}^{5} e^{- 0.05 x} d x$

Bước 2

Giả sử $u = - 0.05 x$ . Sau đó $d u = - 0.05 d x$ , nên $\frac{1}{- 0.05} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = - 0.05 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $- 0.05 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 0.05 x]$

Bước 2.1.2

Vì $- 0.05$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 0.05 x$ đối với $x$ là $- 0.05 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 0.05 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 0.05 \cdot 1$

Bước 2.1.4

Nhân $- 0.05$ với $1$ .

$- 0.05$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = - 0.05 x$ .

$u_{lower} = - 0.05 \cdot 0$

Bước 2.3

Nhân $- 0.05$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = - 0.05 x$ .

$u_{upper} = - 0.05 \cdot 5$

Bước 2.5

Nhân $- 0.05$ với $5$ .

$u_{upper} = - 0.25$

Bước 2.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 0.25$

Bước 2.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$3000 \int_{0}^{- 0.25} e^{u} \frac{1}{- 0.05} d u$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$3000 \int_{0}^{- 0.25} e^{u} (- \frac{1}{0.05}) d u$

Bước 3.2

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{0.05}$ .

$3000 \int_{0}^{- 0.25} - \frac{e^{u}}{0.05} d u$

Bước 4

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$3000 (- \int_{0}^{- 0.25} \frac{e^{u}}{0.05} d u)$

Bước 5

Nhân $- 1$ với $3000$ .

$- 3000 \int_{0}^{- 0.25} \frac{e^{u}}{0.05} d u$

Bước 6

Vì $\frac{1}{0.05}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{0.05}$ ra khỏi tích phân.

$- 3000 (\frac{1}{0.05} \int_{0}^{- 0.25} e^{u} d u)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp $\frac{1}{0.05}$ và $- 3000$ .

$\frac{- 3000}{0.05} \int_{0}^{- 0.25} e^{u} d u$

Bước 7.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{3000}{0.05} \int_{0}^{- 0.25} e^{u} d u$

Bước 8

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$- \frac{3000}{0.05} e^{u}]_{0}^{- 0.25}$

Bước 9

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tính $e^{u}$ tại $- 0.25$ và tại $0$ .

$- \frac{3000}{0.05} ((e^{- 0.25}) - e^{0})$

Bước 9.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$- \frac{3000}{0.05} (e^{- 0.25} - 1 \cdot 1)$

Bước 9.2.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{3000}{0.05} (e^{- 0.25} - 1)$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Chia $3000$ cho $0.05$ .

$- 1 \cdot 60000 (e^{- 0.25} - 1)$

Bước 10.2

Nhân $- 1$ với $60000$ .

$- 60000 (e^{- 0.25} - 1)$

Bước 10.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 60000 e^{- 0.25} - 60000 \cdot - 1$

Bước 10.4

Nhân $- 60000$ với $- 1$ .

$- 60000 e^{- 0.25} + 60000$

Bước 10.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 60000 \frac{1}{e^{0.25}} + 60000$

Bước 10.5.2

Kết hợp $- 60000$ và $\frac{1}{e^{0.25}}$ .

$\frac{- 60000}{e^{0.25}} + 60000$

Bước 10.5.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{60000}{e^{0.25}} + 60000$

Bước 11

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{60000}{e^{0.25}} + 60000$

Dạng thập phân:

$13271.95301571 \dots$

Bước 12