Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 x^{2} + 4}}{6 x + 1}$

Bước 1

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}}{\frac{6 x}{x} + \frac{1}{x}}$

Bước 2

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}}{6 + \frac{1}{x}}$

Bước 2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}}{6 + \frac{1}{x}}$

Bước 2.2.2

Chia $9$ cho $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 + \frac{4}{x^{2}}}}{6 + \frac{1}{x}}$

Bước 2.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{4}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Bước 2.4

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 9 + \frac{4}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Bước 2.5

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 9 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Bước 2.6

Tính giới hạn của $9$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\sqrt{9 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Bước 2.7

Chuyển số hạng $4$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Bước 3

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{2}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Bước 4

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} 6 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Bước 4.2

Tính giới hạn của $6$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0}}{6 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Bước 5

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0}}{6 + 0}$

Bước 6

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Nhân $4$ với $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 0}}{6 + 0}$

Bước 6.1.2

Cộng $9$ và $0$ .

$\frac{\sqrt{9}}{6 + 0}$

Bước 6.1.3

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}}}{6 + 0}$

Bước 6.1.4

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{3}{6 + 0}$

Bước 6.2

Cộng $6$ và $0$ .

$\frac{3}{6}$

Bước 6.3

Triệt tiêu thừa số chung của $3$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 (1)}{6}$

Bước 6.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Bước 6.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Bước 6.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{1}{2}$

Dạng thập phân:

$0.5$