Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{1} y {(y^{2} + 1)}^{5} d y$

Bước 1

Giả sử $u = y^{2} + 1$ . Sau đó $d u = 2 y d y$ , nên $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = y^{2} + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $y^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 1]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y^{2} + 1$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 1.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $1$ đối với $y$ là $0$ .

$2 y + 0$

Bước 1.1.5

Cộng $2 y$ và $0$ .

$2 y$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $y$ trong $u = y^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Bước 1.3.2

Cộng $0$ và $1$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $y$ trong $u = y^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$u_{upper} = 1 + 1$

Bước 1.5.2

Cộng $1$ và $1$ .

$u_{upper} = 2$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{1}^{2} u^{5} \frac{1}{2} d u$

Bước 2

Kết hợp $u^{5}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{u^{5}}{2} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{5} d u$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{5}$ đối với $u$ là $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{2}$

Bước 5

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính $\frac{1}{6} u^{6}$ tại $2$ và tại $1$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{6} \cdot 2^{6}) - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $6$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 64 - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Bước 5.2.2

Kết hợp $\frac{1}{6}$ và $64$ .

$\frac{1}{2} (\frac{64}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Bước 5.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $64$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $64$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 (32)}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Bước 5.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Bước 5.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Bước 5.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} (\frac{32}{3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Bước 5.2.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{2} (\frac{32}{3} - \frac{1}{6} \cdot 1)$

Bước 5.2.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{32}{3} - \frac{1}{6})$

Bước 5.2.6

Để viết $\frac{32}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{32}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{6})$

Bước 5.2.7

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $6$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.7.1

Nhân $\frac{32}{3}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{32 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6})$

Bước 5.2.7.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{32 \cdot 2}{6} - \frac{1}{6})$

Bước 5.2.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{32 \cdot 2 - 1}{6}$

Bước 5.2.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.9.1

Nhân $32$ với $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{64 - 1}{6}$

Bước 5.2.9.2

Trừ $1$ khỏi $64$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{63}{6}$

Bước 5.2.10

Triệt tiêu thừa số chung của $63$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.10.1

Đưa $3$ ra ngoài $63$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 (21)}{6}$

Bước 5.2.10.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.10.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 2}$

Bước 5.2.10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 2}$

Bước 5.2.10.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{21}{2}$

Bước 5.2.11

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{21}{2}$ .

$\frac{21}{2 \cdot 2}$

Bước 5.2.12

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{21}{4}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{21}{4}$

Dạng thập phân:

$5.25$

Dạng hỗn số:

$5 \frac{1}{4}$

Bước 7