Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{2} \frac{2 t}{{(t - 3)}^{2}} d t$

Bước 1

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int_{0}^{2} \frac{t}{{(t - 3)}^{2}} d t$

Bước 2

Viết phân số bằng cách khai triển phân số từng phần.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Chia nhỏ phân số và nhân với mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Với mỗi thừa số dưới mẫu số, ta tạo một phân số mới dùng thừa số đó làm mẫu số và một ẩn số làm tử số. Vì thừa số dưới mẫu số tuyến tính nên ta đặt một biến đơn vào vị trí của nó $A$ .

$\frac{A}{{(t - 3)}^{2}}$

Bước 2.1.2

Với mỗi thừa số dưới mẫu số, ta tạo một phân số mới dùng thừa số đó làm mẫu số và một ẩn số làm tử số. Vì thừa số dưới mẫu số tuyến tính nên ta đặt một biến đơn vào vị trí của nó $B$ .

$\frac{A}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{B}{t - 3}$

Bước 2.1.3

Nhân mỗi phân số trong phương trình với mẫu của của biểu thức ban đầu. Trong trường hợp này, mẫu số là ${(t - 3)}^{2}$ .

$\frac{t {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} = \frac{(A) {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(t - 3)}^{2}}{t - 3}$

Bước 2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung ${(t - 3)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{t {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} = \frac{(A) {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(t - 3)}^{2}}{t - 3}$

Bước 2.1.4.2

Chia $t$ cho $1$ .

$t = \frac{(A) {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(t - 3)}^{2}}{t - 3}$

Bước 2.1.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung ${(t - 3)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.5.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$t = \frac{A {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(t - 3)}^{2}}{t - 3}$

Bước 2.1.5.1.2

Chia $A$ cho $1$ .

$t = A + \frac{(B) {(t - 3)}^{2}}{t - 3}$

Bước 2.1.5.2

Triệt tiêu thừa số chung của ${(t - 3)}^{2}$ và $t - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.5.2.1

Đưa $t - 3$ ra ngoài $(B) {(t - 3)}^{2}$ .

$t = A + \frac{(t - 3) (B (t - 3))}{t - 3}$

Bước 2.1.5.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.5.2.2.1

Nhân với $1$ .

$t = A + \frac{(t - 3) (B (t - 3))}{(t - 3) \cdot 1}$

Bước 2.1.5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$t = A + \frac{(t - 3) (B (t - 3))}{(t - 3) \cdot 1}$

Bước 2.1.5.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$t = A + \frac{B (t - 3)}{1}$

Bước 2.1.5.2.2.4

Chia $B (t - 3)$ cho $1$ .

$t = A + B (t - 3)$

Bước 2.1.5.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$t = A + B t + B \cdot - 3$

Bước 2.1.5.4

Di chuyển $- 3$ sang phía bên trái của $B$ .

$t = A + B t - 3 B$

Bước 2.1.6

Sắp xếp lại $A$ và $B t$ .

$t = B t + A - 3 B$

Bước 2.2

Tạo các phương trình cho các biến của phân số từng phần và sử dụng chúng để lập một hệ phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của $t$ từ mỗi vế của phương trình bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

$1 = B$

Bước 2.2.2

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của các số hạng không chứa $t$ bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

$0 = A - 3 B$

Bước 2.2.3

Lập hệ phương trình để tìm hệ số của các phân số từng phần.

$1 = B$

$0 = A - 3 B$

$1 = B$

$0 = A - 3 B$

Bước 2.3

Giải hệ phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $B = 1$ .

$B = 1$

$0 = A - 3 B$

Bước 2.3.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $B$ bằng $1$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $B$ trong $0 = A - 3 B$ bằng $1$ .

$0 = A - 3 \cdot 1$

$B = 1$

Bước 2.3.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.1

Nhân $- 3$ với $1$ .

$0 = A - 3$

$B = 1$

$0 = A - 3$

$B = 1$

$0 = A - 3$

$B = 1$

Bước 2.3.3

Giải tìm $A$ trong $0 = A - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $A - 3 = 0$ .

$A - 3 = 0$

$B = 1$

Bước 2.3.3.2

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$A = 3$

$B = 1$

$A = 3$

$B = 1$

Bước 2.3.4

Giải hệ phương trình.

$A = 3 B = 1$

Bước 2.3.5

Liệt kê tất cả các đáp án.

$A = 3, B = 1$

Bước 2.4

Thay thế từng hệ số phân số từng phần trong $\frac{A}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{B}{t - 3}$ bằng các giá trị tìm được cho $A$ và $B$ .

$\frac{3}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{1}{t - 3}$

Bước 2.5

Loại bỏ số 0 từ biểu thức.

$2 \int_{0}^{2} \frac{3}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{1}{t - 3} d t$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$2 (\int_{0}^{2} \frac{3}{{(t - 3)}^{2}} d t + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

Bước 4

Vì $3$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$2 (3 \int_{0}^{2} \frac{1}{{(t - 3)}^{2}} d t + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

Bước 5

Giả sử $u_{1} = t - 3$ . Sau đó $d u_{1} = d t$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u_{1} = t - 3$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $t - 3$ .

$\frac{d}{d t} [t - 3]$

Bước 5.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $t - 3$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Bước 5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [- 3]$

Bước 5.1.4

Vì $- 3$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $t$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 5.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 5.2

Thay giới hạn dưới vào cho $t$ trong $u_{1} = t - 3$ .

$u_{lower} = 0 - 3$

Bước 5.3

Trừ $3$ khỏi $0$ .

$u_{lower} = - 3$

Bước 5.4

Thay giới hạn trên vào cho $t$ trong $u_{1} = t - 3$ .

$u_{upper} = 2 - 3$

Bước 5.5

Trừ $3$ khỏi $2$ .

$u_{upper} = - 1$

Bước 5.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = - 1$

Bước 5.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ , $d u_{1}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$2 (3 \int_{- 3}^{- 1} \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

Bước 6

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Di chuyển ${u_{1}}^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$2 (3 \int_{- 3}^{- 1} {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

Bước 6.2

Nhân các số mũ trong ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (3 \int_{- 3}^{- 1} {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

Bước 6.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$2 (3 \int_{- 3}^{- 1} {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{1}}^{- 2}$ đối với $u_{1}$ là $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$2 (3 (- {u_{1}}^{- 1}]_{- 3}^{- 1}) + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

Bước 8

Giả sử $u_{2} = t - 3$ . Sau đó $d u_{2} = d t$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Hãy đặt $u_{2} = t - 3$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Tính đạo hàm $t - 3$ .

$\frac{d}{d t} [t - 3]$

Bước 8.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $t - 3$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Bước 8.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [- 3]$

Bước 8.1.4

Vì $- 3$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $t$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 8.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 8.2

Thay giới hạn dưới vào cho $t$ trong $u_{2} = t - 3$ .

$u_{lower} = 0 - 3$

Bước 8.3

Trừ $3$ khỏi $0$ .

$u_{lower} = - 3$

Bước 8.4

Thay giới hạn trên vào cho $t$ trong $u_{2} = t - 3$ .

$u_{upper} = 2 - 3$

Bước 8.5

Trừ $3$ khỏi $2$ .

$u_{upper} = - 1$

Bước 8.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = - 1$

Bước 8.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ , $d u_{2}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$2 (3 (- {u_{1}}^{- 1}]_{- 3}^{- 1}) + \int_{- 3}^{- 1} \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Bước 9

Tích phân của $\frac{1}{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 (3 (- {u_{1}}^{- 1}]_{- 3}^{- 1}) + \ln (| u_{2} |)]_{- 3}^{- 1})$

Bước 10

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Tính $- {u_{1}}^{- 1}$ tại $- 1$ và tại $- 3$ .

$2 (3 ((- {(- 1)}^{- 1}) + {(- 3)}^{- 1}) + \ln (| u_{2} |)]_{- 3}^{- 1})$

Bước 10.2

Tính $\ln (| u_{2} |)$ tại $- 1$ và tại $- 3$ .

$2 (3 ((- {(- 1)}^{- 1}) + {(- 3)}^{- 1}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Bước 10.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (3 (- \frac{1}{- 1} + {(- 3)}^{- 1}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Bước 10.3.2

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{1}{- 1}$ .

$2 (3 (- (- 1 \cdot 1) + {(- 3)}^{- 1}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Bước 10.3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$2 (3 (- - 1 + {(- 3)}^{- 1}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Bước 10.3.4

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$2 (3 (1 + {(- 3)}^{- 1}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Bước 10.3.5

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (3 (1 + \frac{1}{- 3}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Bước 10.3.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2 (3 (1 - \frac{1}{3}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Bước 10.3.7

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$2 (3 (\frac{3}{3} - \frac{1}{3}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Bước 10.3.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 (3 \frac{3 - 1}{3} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Bước 10.3.9

Trừ $1$ khỏi $3$ .

$2 (3 (\frac{2}{3}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Bước 10.3.10

Kết hợp $3$ và $\frac{2}{3}$ .

$2 (\frac{3 \cdot 2}{3} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Bước 10.3.11

Nhân $3$ với $2$ .

$2 (\frac{6}{3} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Bước 10.3.12

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.12.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$2 (\frac{3 \cdot 2}{3} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Bước 10.3.12.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.12.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$2 (\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Bước 10.3.12.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Bước 10.3.12.2.3

Viết lại biểu thức.

$2 (\frac{2}{1} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Bước 10.3.12.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$2 (2 + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

$2 (2 + \ln (| - 1 |) - \ln (| - 3 |))$

Bước 11

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 (2 + \ln (\frac{| - 1 |}{| - 3 |}))$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $- 1$ và $0$ là $1$ .

$2 (2 + \ln (\frac{1}{| - 3 |}))$

Bước 12.1.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $- 3$ và $0$ là $3$ .

$2 (2 + \ln (\frac{1}{3}))$

Bước 12.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \cdot 2 + 2 \ln (\frac{1}{3})$

Bước 12.3

Nhân $2$ với $2$ .

$4 + 2 \ln (\frac{1}{3})$

Bước 13

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$4 + 2 \ln (\frac{1}{3})$

Dạng thập phân:

$1.80277542 \dots$

Bước 14