Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{4} \sqrt{16 x^{5}} d x$

Bước 1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $16 x^{5}$ ở dạng ${(4 x^{2})}^{2} x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$\int_{1}^{4} \sqrt{4^{2} x^{5}} d x$

Bước 1.1.2

Đưa $x^{4}$ ra ngoài.

$\int_{1}^{4} \sqrt{4^{2} (x^{4} x)} d x$

Bước 1.1.3

Viết lại $x^{4}$ ở dạng ${(x^{2})}^{2}$ .

$\int_{1}^{4} \sqrt{4^{2} ({(x^{2})}^{2} x)} d x$

Bước 1.1.4

Viết lại $4^{2} {(x^{2})}^{2}$ ở dạng ${(4 x^{2})}^{2}$ .

$\int_{1}^{4} \sqrt{{(4 x^{2})}^{2} x} d x$

Bước 1.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\int_{1}^{4} 4 x^{2} \sqrt{x} d x$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} 4 x^{2} x^{\frac{1}{2}} d x$

Bước 2.2

Nhân $x^{2}$ với $x^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} 4 (x^{\frac{1}{2}} x^{2}) d x$

Bước 2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int_{1}^{4} 4 x^{\frac{1}{2} + 2} d x$

Bước 2.2.3

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{4} 4 x^{\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} d x$

Bước 2.2.4

Kết hợp $2$ và $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{4} 4 x^{\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} d x$

Bước 2.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int_{1}^{4} 4 x^{\frac{1 + 2 \cdot 2}{2}} d x$

Bước 2.2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\int_{1}^{4} 4 x^{\frac{1 + 4}{2}} d x$

Bước 2.2.6.2

Cộng $1$ và $4$ .

$\int_{1}^{4} 4 x^{\frac{5}{2}} d x$

Bước 3

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$4 \int_{1}^{4} x^{\frac{5}{2}} d x$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{5}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}}$ .

$4 (\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}}]_{1}^{4})$

Bước 5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{2}{7}$ và $x^{\frac{7}{2}}$ .

$4 (\frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7}]_{1}^{4})$

Bước 5.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Tính $\frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7}$ tại $4$ và tại $1$ .

$4 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{7}{2}}}{7}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

Bước 5.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$4 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

Bước 5.2.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{7}{2})}}{7} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

Bước 5.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{7}{2})}}{7} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

Bước 5.2.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$4 (\frac{2 \cdot 2^{7}}{7} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

Bước 5.2.2.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $7$ .

$4 (\frac{2 \cdot 128}{7} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

Bước 5.2.2.5

Nhân $2$ với $128$ .

$4 (\frac{256}{7} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

Bước 5.2.2.6

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$4 (\frac{256}{7} - \frac{2 \cdot 1}{7})$

Bước 5.2.2.7

Nhân $2$ với $1$ .

$4 (\frac{256}{7} - \frac{2}{7})$

Bước 5.2.2.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$4 \frac{256 - 2}{7}$

Bước 5.2.2.9

Trừ $2$ khỏi $256$ .

$4 (\frac{254}{7})$

Bước 5.2.2.10

Kết hợp $4$ và $\frac{254}{7}$ .

$\frac{4 \cdot 254}{7}$

Bước 5.2.2.11

Nhân $4$ với $254$ .

$\frac{1016}{7}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{1016}{7}$

Dạng thập phân:

$145.14285714 \dots$

Dạng hỗn số:

$145 \frac{1}{7}$

Bước 7