Giải tích Ví dụ

$\int \sqrt{a x + b} d x$

Bước 1

Giả sử $u = a x + b$ . Sau đó $d u = a d x$ , nên $\frac{1}{a} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = a x + b$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $a x + b$ .

$\frac{d}{d x} [a x + b]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $a x + b$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [b]$ .

$\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [b]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [a x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $a$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $a x$ đối với $x$ là $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$a \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [b]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$a \cdot 1 + \frac{d}{d x} [b]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $a$ với $1$ .

$a + \frac{d}{d x} [b]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $b$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $b$ đối với $x$ là $0$ .

$a + 0$

Bước 1.1.4.2

Cộng $a$ và $0$ .

$a$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{a} d u$

Bước 2

Kết hợp $\sqrt{u}$ và $\frac{1}{a}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{a} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{a}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{a}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{a} \int \sqrt{u} d u$

Bước 4

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{a} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{a} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại $\frac{1}{a} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ ở dạng $\frac{1}{a} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{a} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nhân $\frac{1}{a}$ với $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{a \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 6.2.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $a$ .

$\frac{2}{3 \cdot a} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 6.2.3

Kết hợp $\frac{2}{3 a}$ và $u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3 a} + C$

Bước 7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $a x + b$ .

$\frac{2 {(a x + b)}^{\frac{3}{2}}}{3 a} + C$