Giải tích Ví dụ

$\frac{y^{4}}{8} + \frac{1}{4 y^{2}}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{y^{4}}{8} + \frac{1}{4 y^{2}}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{8}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{8}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{8}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $\frac{1}{8}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $\frac{y^{4}}{8}$ đối với $y$ là $\frac{1}{8} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{1}{8} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$\frac{1}{8} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Bước 2.3

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{8}$ .

$\frac{4}{8} y^{3} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Bước 2.4

Kết hợp $\frac{4}{8}$ và $y^{3}$ .

$\frac{4 y^{3}}{8} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Bước 2.5

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 y^{3}$ .

$\frac{4 (y^{3})}{8} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Bước 2.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$\frac{4 y^{3}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Bước 2.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 y^{3}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Bước 2.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{4 y^{2}}$ đối với $y$ là $\frac{1}{4} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$

Bước 3.2

Viết lại $\frac{1}{y^{2}}$ ở dạng ${(y^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = y^{- 1}$ và $g (y) = y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y^{2}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Bước 3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y^{2}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y))$

Bước 3.5

Nhân các số mũ trong ${(y^{2})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- y^{2 \cdot - 2} (2 y))$

Bước 3.5.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- y^{- 4} (2 y))$

Bước 3.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- 2 y^{- 4} y)$

Bước 3.7

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- 2 (y^{1} y^{- 4}))$

Bước 3.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- 2 y^{1 - 4})$

Bước 3.9

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- 2 y^{- 3})$

Bước 3.10

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{4}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{- 2}{4} y^{- 3}$

Bước 3.11

Kết hợp $\frac{- 2}{4}$ và $y^{- 3}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{- 2 y^{- 3}}{4}$

Bước 3.12

Di chuyển $y^{- 3}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{- 2}{4 y^{3}}$

Bước 3.13

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.13.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{2 (- 1)}{4 y^{3}}$

Bước 3.13.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.13.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 y^{3}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{2 (- 1)}{2 (2 y^{3})}$

Bước 3.13.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (2 y^{3})}$

Bước 3.13.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{- 1}{2 y^{3}}$

Bước 3.14

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{y^{3}}{2} - \frac{1}{2 y^{3}}$