Giải tích Ví dụ

$y = e^{a x} \sin (b x)$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d b} (y) = \frac{d}{d b} (e^{a x} \sin (b x))$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $b$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $e^{a x}$ không đổi đối với $b$ , nên đạo hàm của $e^{a x} \sin (b x)$ đối với $b$ là $e^{a x} \frac{d}{d b} [\sin (b x)]$ .

$e^{a x} \frac{d}{d b} [\sin (b x)]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d b} [f (g (b))]$ là $f' (g (b)) g' (b)$ trong đó $f (b) = \sin (b)$ và $g (b) = b x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $b x$ .

$e^{a x} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d b} [b x])$

Bước 3.2.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$e^{a x} (\cos (u) \frac{d}{d b} [b x])$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $b x$ .

$e^{a x} (\cos (b x) \frac{d}{d b} [b x])$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $x$ không đổi đối với $b$ , nên đạo hàm của $b x$ đối với $b$ là $x \frac{d}{d b} [b]$ .

$e^{a x} (\cos (b x) (x \frac{d}{d b} [b]))$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d b} [b^{n}]$ là $n b^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{a x} (\cos (b x) (x \cdot 1))$

Bước 3.3.3

Nhân $x$ với $1$ .

$e^{a x} (\cos (b x) x)$

Bước 3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Sắp xếp lại các thừa số của $e^{a x} (\cos (b x) x)$ .

$e^{a x} x \cos (b x)$

Bước 3.4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{a x} x \cos (b x)$ .

$x e^{a x} \cos (b x)$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = x e^{a x} \cos (b x)$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d b}$ .

$\frac{d y}{d b} = x e^{a x} \cos (b x)$