Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (2 x) \sin (\sin (2 x)) d x$

Bước 1

Giả sử $u_{1} = 2 x$ . Sau đó $d u_{1} = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{1} = 2 x$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 1.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u_{1} = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Bước 1.3

Nhân $2$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u_{1} = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

Bước 1.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Bước 1.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Bước 1.5.3

Viết lại biểu thức.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ , $d u_{1}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u_{1}) \sin (\sin (u_{1})) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\cos (u_{1})$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u_{1})}{2} \sin (\sin (u_{1})) d u_{1}$

Bước 2.2

Kết hợp $\frac{\cos (u_{1})}{2}$ và $\sin (\sin (u_{1}))$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u_{1}) \sin (\sin (u_{1}))}{2} d u_{1}$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u_{1}) \sin (\sin (u_{1})) d u_{1}$

Bước 4

Giả sử $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Sau đó $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ , nên $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $\sin (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

Bước 4.1.2

Đạo hàm của $\sin (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1})$

Bước 4.2

Thay giới hạn dưới vào cho $u_{1}$ trong $u_{2} = \sin (u_{1})$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Bước 4.3

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 4.4

Thay giới hạn trên vào cho $u_{1}$ trong $u_{2} = \sin (u_{1})$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Bước 4.5

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$u_{upper} = 1$

Bước 4.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Bước 4.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ , $d u_{2}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \sin (u_{2}) d u_{2}$

Bước 5

Tích phân của $\sin (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} - \cos (u_{2})]_{0}^{1}$

Bước 6

Tính $- \cos (u_{2})$ tại $1$ và tại $0$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (1) + \cos (0))$

Bước 7

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (1) + 1)$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính $\cos (1)$ .

$\frac{1}{2} (- 1 \cdot 0.5403023 + 1)$

Bước 8.2

Nhân $- 1$ với $0.5403023$ .

$\frac{1}{2} (- 0.5403023 + 1)$

Bước 8.3

Cộng $- 0.5403023$ và $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0.45969769$

Bước 8.4

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $0.45969769$ .

$\frac{0.45969769}{2}$

Bước 8.5

Chia $0.45969769$ cho $2$ .

$0.22984884$