Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{1} \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 1 + e^{x}$ . Sau đó $d u = e^{x} d x$ , nên $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 1 + e^{x}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $1 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + e^{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Bước 1.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$0 + e^{x}$

Bước 1.1.4

Cộng $0$ và $e^{x}$ .

$e^{x}$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 1 + e^{x}$ .

$u_{lower} = 1 + e^{0}$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$u_{lower} = 1 + 1$

Bước 1.3.2

Cộng $1$ và $1$ .

$u_{lower} = 2$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 1 + e^{x}$ .

$u_{upper} = 1 + e^{1}$

Bước 1.5

Rút gọn.

$u_{upper} = 1 + e$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 1 + e$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{2}^{1 + e} \frac{1}{u} d u$

Bước 2

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{2}^{1 + e}$

Bước 3

Tính $\ln (| u |)$ tại $1 + e$ và tại $2$ .

$\ln (| 1 + e |) - \ln (| 2 |)$

Bước 4

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 + e |}{| 2 |})$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

$1 + e$ xấp xỉ $3.71828182$ , là một số dương, nên ta loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

$\ln (\frac{1 + e}{| 2 |})$

Bước 5.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $2$ là $2$ .

$\ln (\frac{1 + e}{2})$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\ln (\frac{1 + e}{2})$

Dạng thập phân:

$0.62011450 \dots$

Bước 7