Giải tích Ví dụ

$\int \frac{\sin (2 x)}{3 + \cos (2 x)} d x$

Bước 1

Giả sử $u_{2} = 3 + \cos (2 x)$ . Sau đó $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ , nên $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{2} = 3 + \cos (2 x)$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $3 + \cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [3 + \cos (2 x)]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 + \cos (2 x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Bước 1.1.2.2

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $2 x$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.3.1.2

Đạo hàm của $\cos (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \sin (u_{1})$ .

$0 - \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x$ .

$0 - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.3.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 - \sin (2 x) (2 \cdot 1)$

Bước 1.1.3.4

Nhân $2$ với $1$ .

$0 - \sin (2 x) \cdot 2$

Bước 1.1.3.5

Nhân $2$ với $- 1$ .

$0 - 2 \sin (2 x)$

Bước 1.1.4

Trừ $2 \sin (2 x)$ khỏi $0$ .

$- 2 \sin (2 x)$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int \frac{1}{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Bước 2.2

Nhân $\frac{1}{u_{2}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Bước 2.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u_{2}$ .

$\int - \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Bước 4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Bước 5

Tích phân của $\frac{1}{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Bước 6

Rút gọn.

$- \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

Bước 7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $3 + \cos (2 x)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 3 + \cos (2 x) |) + C$