Giải tích Ví dụ

$\int \frac{\sec (x) \tan (x)}{9 + 4 \sec^{2} (x)} d x$

Bước 1

Giả sử $u = \sec (x)$ . Sau đó $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , nên $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = \sec (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Bước 1.1.2

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{1}{9 + 4 u^{2}} d u$

Bước 2

Đưa $4$ ra ngoài $9 + 4 u^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đưa $4$ ra ngoài $9$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{9}{4}) + 4 u^{2}} d u$

Bước 2.2

Đưa $4$ ra ngoài $4 u^{2}$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{9}{4}) + 4 (u^{2})} d u$

Bước 2.3

Đưa $4$ ra ngoài $4 (\frac{9}{4}) + 4 (u^{2})$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{9}{4} + u^{2})} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{\frac{9}{4} + u^{2}} d u$

Bước 4

Viết lại $\frac{9}{4}$ ở dạng ${(\frac{3}{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{{(\frac{3}{2})}^{2} + u^{2}} d u$

Bước 5

Tích phân của $\frac{1}{{(\frac{3}{2})}^{2} + u^{2}}$ đối với $u$ là $\frac{1}{\frac{3}{2}} \arctan (\frac{u}{\frac{3}{2}}) + C$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{\frac{3}{2}} \arctan (\frac{u}{\frac{3}{2}}) + C)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{4} (1 (\frac{2}{3}) \arctan (\frac{u}{\frac{3}{2}}) + C)$

Bước 6.1.2

Nhân $\frac{2}{3}$ với $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \arctan (\frac{u}{\frac{3}{2}}) + C)$

Bước 6.1.3

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \arctan (u \frac{2}{3}) + C)$

Bước 6.1.4

Kết hợp $u$ và $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \arctan (\frac{u \cdot 2}{3}) + C)$

Bước 6.1.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \arctan (\frac{2 \cdot u}{3}) + C)$

Bước 6.1.6

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $\arctan (\frac{2 u}{3})$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \arctan (\frac{2 u}{3})}{3} + C)$

Bước 6.2

Viết lại $\frac{1}{4} (\frac{2 \arctan (\frac{2 u}{3})}{3} + C)$ ở dạng $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

Bước 6.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{4 \cdot 3} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

Bước 6.3.2

Nhân $4$ với $3$ .

$\frac{2}{12} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

Bước 6.3.3

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (1)}{12} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

Bước 6.3.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $12$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

Bước 6.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

Bước 6.3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{6} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

Bước 7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sec (x)$ .

$\frac{1}{6} \arctan (\frac{2}{3} \sec (x)) + C$