Giải tích Ví dụ

$\int e^{x} \cos (2 x) d x$

Bước 1

Sắp xếp lại $e^{x}$ và $\cos (2 x)$ .

$\int \cos (2 x) e^{x} d x$

Bước 2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \cos (2 x)$ và $d v = e^{x}$ .

$\cos (2 x) e^{x} - \int e^{x} (- 2 \sin (2 x)) d x$

Bước 3

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$\cos (2 x) e^{x} - (- 2 \int e^{x} (\sin (2 x)) d x)$

Bước 4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$\cos (2 x) e^{x} + 2 \int e^{x} (\sin (2 x)) d x$

Bước 4.2

Sắp xếp lại $e^{x}$ và $\sin (2 x)$ .

$\cos (2 x) e^{x} + 2 \int \sin (2 x) e^{x} d x$

Bước 5

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \sin (2 x)$ và $d v = e^{x}$ .

$\cos (2 x) e^{x} + 2 (\sin (2 x) e^{x} - \int e^{x} (2 \cos (2 x)) d x)$

Bước 6

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\cos (2 x) e^{x} + 2 (\sin (2 x) e^{x} - (2 \int e^{x} (\cos (2 x)) d x))$

Bước 7

Rút gọn bằng cách nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\cos (2 x) e^{x} + 2 (\sin (2 x) e^{x} - 2 \int e^{x} (\cos (2 x)) d x)$

Bước 7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\cos (2 x) e^{x} + 2 (\sin (2 x) e^{x}) + 2 (- 2 \int e^{x} (\cos (2 x)) d x)$

Bước 7.3

Nhân $- 2$ với $2$ .

$\cos (2 x) e^{x} + 2 (\sin (2 x) e^{x}) - 4 \int e^{x} (\cos (2 x)) d x$

Bước 8

Khi giải tìm $\int e^{x} \cos (2 x) d x$ , chúng ta thấy rằng $\int e^{x} \cos (2 x) d x$ = $\frac{\cos (2 x) e^{x} + 2 (\sin (2 x) e^{x})}{5}$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{x} + 2 (\sin (2 x) e^{x})}{5} + C$

Bước 9

Viết lại $\frac{\cos (2 x) e^{x} + 2 \sin (2 x) e^{x}}{5} + C$ ở dạng $\frac{1}{5} (\cos (2 x) e^{x} + 2 \sin (2 x) e^{x}) + C$ .

$\frac{1}{5} (\cos (2 x) e^{x} + 2 \sin (2 x) e^{x}) + C$