Giải tích Ví dụ

$\int e^{4 x} \cos (5 x) d x$

Bước 1

Sắp xếp lại $e^{4 x}$ và $\cos (5 x)$ .

$\int \cos (5 x) e^{4 x} d x$

Bước 2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \cos (5 x)$ và $d v = e^{4 x}$ .

$\cos (5 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} (- 5 \sin (5 x)) d x$

Bước 3

Vì $\frac{1}{4} \cdot - 5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4} \cdot - 5$ ra khỏi tích phân.

$\cos (5 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - (\frac{1}{4} \cdot - 5 \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x)$

Bước 4

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $e^{4 x}$ .

$\cos (5 x) \frac{e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot - 5 \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x)$

Bước 4.2

Kết hợp $\cos (5 x)$ và $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot - 5 \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x)$

Bước 4.3

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $- 5$ .

$\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 5}{4} \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x)$

Bước 4.4

Sắp xếp lại $e^{4 x}$ và $\sin (5 x)$ .

$\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 5}{4} \int \sin (5 x) e^{4 x} d x)$

Bước 5

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \sin (5 x)$ và $d v = e^{4 x}$ .

$\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 5}{4} (\sin (5 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} (5 \cos (5 x)) d x))$

Bước 6

Vì $\frac{1}{4} \cdot 5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4} \cdot 5$ ra khỏi tích phân.

$\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 5}{4} (\sin (5 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - (\frac{1}{4} \cdot 5 \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x)))$

Bước 7

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $e^{4 x}$ .

$\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 5}{4} (\sin (5 x) \frac{e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 5 \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x)))$

Bước 7.2

Kết hợp $\sin (5 x)$ và $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 5}{4} (\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 5 \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x)))$

Bước 7.3

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $5$ .

$\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 5}{4} (\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{5}{4} \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x)))$

Bước 7.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{- 5}{4} \cdot \frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{- 5}{4} (- (\frac{5}{4} \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x))$

Bước 7.5

Nhân $\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4}$ với $\frac{- 5}{4}$ .

$\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (5 x) e^{4 x} \cdot - 5}{4 \cdot 4} - \frac{- 5}{4} (- (\frac{5}{4} \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x))$

Bước 7.6

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.1

Nhân $4$ với $4$ .

$\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (5 x) e^{4 x} \cdot - 5}{16} - \frac{- 5}{4} (- (\frac{5}{4} \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x))$

Bước 7.6.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (5 x) e^{4 x} \cdot - 5}{16} + 1 (\frac{- 5}{4}) (\frac{5}{4} \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x)$

Bước 7.6.3

Nhân $\frac{- 5}{4}$ với $1$ .

$\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (5 x) e^{4 x} \cdot - 5}{16} + \frac{- 5}{4} (\frac{5}{4} \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x)$

Bước 7.7

Nhân $\frac{5}{4}$ với $\frac{- 5}{4}$ .

$\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (5 x) e^{4 x} \cdot - 5}{16} + \frac{5 \cdot - 5}{4 \cdot 4} \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x$

Bước 7.8

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.8.1

Nhân $5$ với $- 5$ .

$\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (5 x) e^{4 x} \cdot - 5}{16} + \frac{- 25}{4 \cdot 4} \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x$

Bước 7.8.2

Nhân $4$ với $4$ .

$\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (5 x) e^{4 x} \cdot - 5}{16} + \frac{- 25}{16} \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x$

Bước 8

Khi giải tìm $\int e^{4 x} \cos (5 x) d x$ , chúng ta thấy rằng $\int e^{4 x} \cos (5 x) d x$ = $\frac{\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (5 x) e^{4 x} \cdot - 5}{16}}{\frac{41}{16}}$ .

$\frac{\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (5 x) e^{4 x} \cdot - 5}{16}}{\frac{41}{16}} + C$

Bước 9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Di chuyển $- 5$ sang phía bên trái của $\sin (5 x) e^{4 x}$ .

$\frac{\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{- 5 \cdot (\sin (5 x) e^{4 x})}{16}}{\frac{41}{16}} + C$

Bước 9.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - - \frac{5 \sin (5 x) e^{4 x}}{16}}{\frac{41}{16}} + C$

Bước 9.1.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} + 1 \frac{5 \sin (5 x) e^{4 x}}{16}}{\frac{41}{16}} + C$

Bước 9.1.4

Nhân $\frac{5 \sin (5 x) e^{4 x}}{16}$ với $1$ .

$\frac{\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} + \frac{5 \sin (5 x) e^{4 x}}{16}}{\frac{41}{16}} + C$

Bước 9.1.5

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{41}{16}$ .

$(\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} + \frac{5 \sin (5 x) e^{4 x}}{16}) \frac{16}{41} + C$

Bước 9.2

Viết lại $(\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} + \frac{5 \sin (5 x) e^{4 x}}{16}) \frac{16}{41} + C$ ở dạng $(\frac{1}{4} \cos (5 x) e^{4 x} + \frac{5}{16} \sin (5 x) e^{4 x}) \frac{16}{41} + C$ .

$(\frac{1}{4} \cos (5 x) e^{4 x} + \frac{5}{16} \sin (5 x) e^{4 x}) \frac{16}{41} + C$