Giải tích Ví dụ

$\int 6 e^{6 x} \sin (e^{6 x}) d x$

Bước 1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$6 \int e^{6 x} \sin (e^{6 x}) d x$

Bước 2

Giả sử $u_{1} = 6 x$ . Sau đó $d u_{1} = 6 d x$ , nên $\frac{1}{6} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u_{1} = 6 x$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 2.1.2

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Bước 2.1.4

Nhân $6$ với $1$ .

$6$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$6 \int e^{u_{1}} \sin (e^{u_{1}}) \frac{1}{6} d u_{1}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $\frac{1}{6}$ và $e^{u_{1}}$ .

$6 \int \frac{e^{u_{1}}}{6} \sin (e^{u_{1}}) d u_{1}$

Bước 3.2

Kết hợp $\frac{e^{u_{1}}}{6}$ và $\sin (e^{u_{1}})$ .

$6 \int \frac{e^{u_{1}} \sin (e^{u_{1}})}{6} d u_{1}$

Bước 4

Vì $\frac{1}{6}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{6}$ ra khỏi tích phân.

$6 (\frac{1}{6} \int e^{u_{1}} \sin (e^{u_{1}}) d u_{1})$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{1}{6}$ và $6$ .

$\frac{6}{6} \int e^{u_{1}} \sin (e^{u_{1}}) d u_{1}$

Bước 5.2

Triệt tiêu thừa số chung $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{6}{6} \int e^{u_{1}} \sin (e^{u_{1}}) d u_{1}$

Bước 5.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 \int e^{u_{1}} \sin (e^{u_{1}}) d u_{1}$

Bước 5.3

Nhân $\int e^{u_{1}} \sin (e^{u_{1}}) d u_{1}$ với $1$ .

$\int e^{u_{1}} \sin (e^{u_{1}}) d u_{1}$

Bước 6

Giả sử $u_{2} = e^{u_{1}}$ . Sau đó $d u_{2} = e^{u_{1}} d u_{1}$ , nên $\frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Hãy đặt $u_{2} = e^{u_{1}}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính đạo hàm $e^{u_{1}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}]$

Bước 6.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}}$

Bước 6.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Bước 7

Tích phân của $\sin (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \cos (u_{2})$ .

$- \cos (u_{2}) + C$

Bước 8

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $e^{u_{1}}$ .

$- \cos (e^{u_{1}}) + C$

Bước 8.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $6 x$ .

$- \cos (e^{6 x}) + C$