Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{500} 13^{x} - 11^{x} d x + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

Bước 1

Tính $\int_{1}^{500} 13^{x} - 11^{x} d x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{1}^{500} 13^{x} d x + \int_{1}^{500} - 11^{x} d x + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

Bước 1.2

Tích phân của $13^{x}$ đối với $x$ là $\frac{13^{x}}{\ln (13)}$ .

$\frac{13^{x}}{\ln (13)}]_{1}^{500} + \int_{1}^{500} - 11^{x} d x + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

Bước 1.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{13^{x}}{\ln (13)}]_{1}^{500} - \int_{1}^{500} 11^{x} d x + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

Bước 1.4

Tích phân của $11^{x}$ đối với $x$ là $\frac{11^{x}}{\ln (11)}$ .

$\frac{13^{x}}{\ln (13)}]_{1}^{500} - (\frac{11^{x}}{\ln (11)}]_{1}^{500}) + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

Bước 1.5

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Tính $\frac{13^{x}}{\ln (13)}$ tại $500$ và tại $1$ .

$(\frac{13^{500}}{\ln (13)}) - \frac{13^{1}}{\ln (13)} - (\frac{11^{x}}{\ln (11)}]_{1}^{500}) + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

Bước 1.5.2

Tính $\frac{11^{x}}{\ln (11)}$ tại $500$ và tại $1$ .

$\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{13^{1}}{\ln (13)} - (\frac{11^{500}}{\ln (11)} - \frac{11^{1}}{\ln (11)}) + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

Bước 1.5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.1

Tính số mũ.

$\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{13}{\ln (13)} - (\frac{11^{500}}{\ln (11)} - \frac{11^{1}}{\ln (11)}) + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

Bước 1.5.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{13^{500} - 13}{\ln (13)} - (\frac{11^{500}}{\ln (11)} - \frac{11^{1}}{\ln (11)}) + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

Bước 1.5.3.3

Tính số mũ.

$\frac{13^{500} - 13}{\ln (13)} - (\frac{11^{500}}{\ln (11)} - \frac{11}{\ln (11)}) + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

Bước 1.5.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{13^{500} - 13}{\ln (13)} - \frac{11^{500} - 11}{\ln (11)} + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

Bước 1.5.3.5

Để viết $\frac{13^{500} - 13}{\ln (13)}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\ln (11)}{\ln (11)}$ .

$\frac{13^{500} - 13}{\ln (13)} \cdot \frac{\ln (11)}{\ln (11)} - \frac{11^{500} - 11}{\ln (11)} + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

Bước 1.5.3.6

Để viết $- \frac{11^{500} - 11}{\ln (11)}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\ln (13)}{\ln (13)}$ .

$\frac{13^{500} - 13}{\ln (13)} \cdot \frac{\ln (11)}{\ln (11)} - \frac{11^{500} - 11}{\ln (11)} \cdot \frac{\ln (13)}{\ln (13)} + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

Bước 1.5.3.7

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $\ln (13) \ln (11)$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.7.1

Nhân $\frac{13^{500} - 13}{\ln (13)}$ với $\frac{\ln (11)}{\ln (11)}$ .

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11)}{\ln (13) \ln (11)} - \frac{11^{500} - 11}{\ln (11)} \cdot \frac{\ln (13)}{\ln (13)} + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

Bước 1.5.3.7.2

Nhân $\frac{11^{500} - 11}{\ln (11)}$ với $\frac{\ln (13)}{\ln (13)}$ .

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11)}{\ln (13) \ln (11)} - \frac{(11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

Bước 1.5.3.7.3

Sắp xếp lại các thừa số của $\ln (13) \ln (11)$ .

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11)}{\ln (11) \ln (13)} - \frac{(11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

Bước 1.5.3.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

Bước 2

Tính $\int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \int_{2}^{500} 11^{x} d x + \int_{2}^{500} - 13^{x} d x$

Bước 2.2

Tích phân của $11^{x}$ đối với $x$ là $\frac{11^{x}}{\ln (11)}$ .

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{11^{x}}{\ln (11)}]_{2}^{500} + \int_{2}^{500} - 13^{x} d x$

Bước 2.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{11^{x}}{\ln (11)}]_{2}^{500} - \int_{2}^{500} 13^{x} d x$

Bước 2.4

Tích phân của $13^{x}$ đối với $x$ là $\frac{13^{x}}{\ln (13)}$ .

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{11^{x}}{\ln (11)}]_{2}^{500} - (\frac{13^{x}}{\ln (13)}]_{2}^{500})$

Bước 2.5

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Tính $\frac{11^{x}}{\ln (11)}$ tại $500$ và tại $2$ .

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + (\frac{11^{500}}{\ln (11)}) - \frac{11^{2}}{\ln (11)} - (\frac{13^{x}}{\ln (13)}]_{2}^{500})$

Bước 2.5.2

Tính $\frac{13^{x}}{\ln (13)}$ tại $500$ và tại $2$ .

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{11^{500}}{\ln (11)} - \frac{11^{2}}{\ln (11)} - (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{13^{2}}{\ln (13)})$

Bước 2.5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.3.1

Nâng $11$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{11^{500}}{\ln (11)} - \frac{121}{\ln (11)} - (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{13^{2}}{\ln (13)})$

Bước 2.5.3.2

Nâng $13$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{11^{500}}{\ln (11)} - \frac{121}{\ln (11)} - (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)})$

Bước 2.5.3.3

Để viết $- (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)})$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\ln (11)}{\ln (11)}$ .

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{11^{500}}{\ln (11)} - (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)}) \cdot \frac{\ln (11)}{\ln (11)} - \frac{121}{\ln (11)}$

Bước 2.5.3.4

Kết hợp $- (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)})$ và $\frac{\ln (11)}{\ln (11)}$ .

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{11^{500}}{\ln (11)} + \frac{- (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)}) \ln (11)}{\ln (11)} - \frac{121}{\ln (11)}$

Bước 2.5.3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{11^{500} - (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)}) \ln (11)}{\ln (11)} - \frac{121}{\ln (11)}$

Bước 2.5.3.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{11^{500} - (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)}) \ln (11) - 121}{\ln (11)}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để viết $\frac{11^{500} - (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)}) \ln (11) - 121}{\ln (11)}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\ln (13)}{\ln (13)}$ .

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{11^{500} - (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)}) \ln (11) - 121}{\ln (11)} \cdot \frac{\ln (13)}{\ln (13)}$

Bước 3.2

Nhân $\frac{11^{500} - (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)}) \ln (11) - 121}{\ln (11)}$ với $\frac{\ln (13)}{\ln (13)}$ .

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{(11^{500} - (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)}) \ln (11) - 121) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)}$

Bước 3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13) + (11^{500} - (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)}) \ln (11) - 121) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)}$