Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{e} x^{2} - \frac{1}{x} d x$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{1}^{e} x^{2} d x + \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} d x$

Bước 2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} d x$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Bước 4

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e} - (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

Bước 5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính $\frac{1}{3} x^{3}$ tại $e$ và tại $1$ .

$(\frac{1}{3} e^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

Bước 5.1.2

Tính $\ln (| x |)$ tại $e$ và tại $1$ .

$\frac{1}{3} e^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Bước 5.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $e^{3}$ .

$\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Bước 5.1.3.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Bước 5.1.3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Bước 5.1.3.4

Để viết $- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{3}}{3} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Bước 5.1.3.5

Kết hợp $- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{3}}{3} + \frac{- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}$

Bước 5.1.3.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{e^{3} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}$

Bước 5.1.3.7

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{e^{3} - 3 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))}{3} - \frac{1}{3}$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{e^{3} - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})}{3} - \frac{1}{3}$

Bước 5.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{e^{3} - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |}) - 1}{3}$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

$e$ xấp xỉ $2.71828182$ , là một số dương, nên ta loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

$\frac{e^{3} - 3 \ln (\frac{e}{| 1 |}) - 1}{3}$

Bước 5.3.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{e^{3} - 3 \ln (\frac{e}{1}) - 1}{3}$

Bước 5.3.3

Chia $e$ cho $1$ .

$\frac{e^{3} - 3 \ln (e) - 1}{3}$

Bước 5.3.4

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$\frac{e^{3} - 3 \cdot 1 - 1}{3}$

Bước 5.3.5

Nhân $- 3$ với $1$ .

$\frac{e^{3} - 3 - 1}{3}$

Bước 5.3.6

Trừ $1$ khỏi $- 3$ .

$\frac{e^{3} - 4}{3}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{e^{3} - 4}{3}$

Dạng thập phân:

$5.36184564 \dots$

Bước 7