Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{e} 4 x - \frac{11}{x} d x$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{1}^{e} 4 x d x + \int_{1}^{e} - \frac{11}{x} d x$

Bước 2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$4 \int_{1}^{e} x d x + \int_{1}^{e} - \frac{11}{x} d x$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e}) + \int_{1}^{e} - \frac{11}{x} d x$

Bước 4

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) + \int_{1}^{e} - \frac{11}{x} d x$

Bước 5

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - \int_{1}^{e} \frac{11}{x} d x$

Bước 6

Vì $11$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $11$ ra khỏi tích phân.

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - (11 \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x)$

Bước 7

Nhân $11$ với $- 1$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - 11 \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Bước 8

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - 11 (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

Bước 9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $e$ và tại $1$ .

$4 ((\frac{e^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) - 11 (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

Bước 9.1.2

Tính $\ln (| x |)$ tại $e$ và tại $1$ .

$4 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 11 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Bước 9.1.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$4 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2}) - 11 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Bước 9.2

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$4 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2}) - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Bước 9.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 \frac{e^{2}}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Bước 9.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$2 (2) \frac{e^{2}}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Bước 9.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cdot 2 \frac{e^{2}}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Bước 9.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$2 e^{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Bước 9.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{2}$ vào tử số.

$2 e^{2} + 4 (\frac{- 1}{2}) - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Bước 9.3.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$2 e^{2} + 2 (2) \frac{- 1}{2} - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Bước 9.3.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 e^{2} + 2 \cdot 2 \frac{- 1}{2} - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Bước 9.3.3.4

Viết lại biểu thức.

$2 e^{2} + 2 \cdot - 1 - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Bước 9.3.4

Nhân $2$ với $- 1$ .

$2 e^{2} - 2 - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Bước 9.3.5

$e$ xấp xỉ $2.71828182$ , là một số dương, nên ta loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

$2 e^{2} - 2 - 11 \ln (\frac{e}{| 1 |})$

Bước 9.3.6

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$2 e^{2} - 2 - 11 \ln (\frac{e}{1})$

Bước 9.3.7

Chia $e$ cho $1$ .

$2 e^{2} - 2 - 11 \ln (e)$

Bước 9.3.8

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$2 e^{2} - 2 - 11 \cdot 1$

Bước 9.3.9

Nhân $- 11$ với $1$ .

$2 e^{2} - 2 - 11$

Bước 9.3.10

Trừ $11$ khỏi $- 2$ .

$2 e^{2} - 13$

Bước 10

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$2 e^{2} - 13$

Dạng thập phân:

$1.77811219 \dots$

Bước 11