Giải tích Ví dụ

$\int_{- 2}^{0} \frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{4} x^{3} - x d x$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{- 2}^{0} \frac{1}{2} x^{4} d x + \int_{- 2}^{0} \frac{1}{4} x^{3} d x + \int_{- 2}^{0} - x d x$

Bước 2

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int_{- 2}^{0} x^{4} d x + \int_{- 2}^{0} \frac{1}{4} x^{3} d x + \int_{- 2}^{0} - x d x$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{4}$ đối với $x$ là $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{5} x^{5}]_{- 2}^{0} + \int_{- 2}^{0} \frac{1}{4} x^{3} d x + \int_{- 2}^{0} - x d x$

Bước 4

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \frac{1}{5} x^{5}]_{- 2}^{0} + \frac{1}{4} \int_{- 2}^{0} x^{3} d x + \int_{- 2}^{0} - x d x$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{5} x^{5}]_{- 2}^{0} + \frac{1}{4} \frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} + \int_{- 2}^{0} - x d x$

Bước 6

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \frac{1}{5} x^{5}]_{- 2}^{0} + \frac{1}{4} \frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} - \int_{- 2}^{0} x d x$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{5} x^{5}]_{- 2}^{0} + \frac{1}{4} \frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} - (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{0})$

Bước 8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{5} x^{5}]_{- 2}^{0} + \frac{1}{4} \frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{0})$

Bước 8.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Tính $\frac{1}{5} x^{5}$ tại $0$ và tại $- 2$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{1}{5} {(- 2)}^{5}) + \frac{1}{4} \frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{0})$

Bước 8.2.2

Tính $\frac{1}{4} x^{4}$ tại $0$ và tại $- 2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} - \frac{1}{5} {(- 2)}^{5}) + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{0})$

Bước 8.2.3

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $0$ và tại $- 2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} - \frac{1}{5} {(- 2)}^{5}) + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 8.2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} \cdot 0 - \frac{1}{5} {(- 2)}^{5}) + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.2

Nhân $\frac{1}{5}$ với $0$ .

$\frac{1}{2} (0 - \frac{1}{5} {(- 2)}^{5}) + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.3

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $5$ .

$\frac{1}{2} (0 - \frac{1}{5} \cdot - 32) + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.4

Nhân $- 32$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} (0 + 32 (\frac{1}{5})) + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.5

Kết hợp $32$ và $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{2} (0 + \frac{32}{5}) + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.6

Cộng $0$ và $\frac{32}{5}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{32}{5} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.7

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{32}{5}$ .

$\frac{32}{2 \cdot 5} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.8

Nhân $2$ với $5$ .

$\frac{32}{10} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.9

Triệt tiêu thừa số chung của $32$ và $10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.9.1

Đưa $2$ ra ngoài $32$ .

$\frac{2 (16)}{10} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.9.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.9.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $10$ .

$\frac{2 \cdot 16}{2 \cdot 5} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.9.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 16}{2 \cdot 5} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.9.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.10

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.11

Nhân $\frac{1}{4}$ với $0$ .

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} (0 - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.12

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $4$ .

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} (0 - \frac{1}{4} \cdot 16) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.13

Nhân $16$ với $- 1$ .

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} (0 - 16 (\frac{1}{4})) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.14

Kết hợp $- 16$ và $\frac{1}{4}$ .

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} (0 + \frac{- 16}{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.15

Triệt tiêu thừa số chung của $- 16$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.15.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 16$ .

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} (0 + \frac{4 \cdot - 4}{4}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.15.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.15.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} (0 + \frac{4 \cdot - 4}{4 (1)}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.15.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} (0 + \frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 1}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.15.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} (0 + \frac{- 4}{1}) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.15.2.4

Chia $- 4$ cho $1$ .

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} (0 - 4) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.16

Trừ $4$ khỏi $0$ .

$\frac{16}{5} + \frac{1}{4} \cdot - 4 - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.17

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $- 4$ .

$\frac{16}{5} + \frac{- 4}{4} - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.18

Triệt tiêu thừa số chung của $- 4$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.18.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 4$ .

$\frac{16}{5} + \frac{4 \cdot - 1}{4} - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.18.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.18.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\frac{16}{5} + \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)} - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.18.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{16}{5} + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1} - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.18.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{16}{5} + \frac{- 1}{1} - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.18.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$\frac{16}{5} - 1 - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.19

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$\frac{16}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5} - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.20

Kết hợp $- 1$ và $\frac{5}{5}$ .

$\frac{16}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5} - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.21

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{16 - 1 \cdot 5}{5} - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.22

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.22.1

Nhân $- 1$ với $5$ .

$\frac{16 - 5}{5} - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.22.2

Trừ $5$ khỏi $16$ .

$\frac{11}{5} - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.23

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{11}{5} - (\frac{0}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.24

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.24.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$\frac{11}{5} - (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.24.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.24.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{11}{5} - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.24.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{11}{5} - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.24.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{11}{5} - (\frac{0}{1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.24.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$\frac{11}{5} - (0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.25

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{11}{5} - (0 - \frac{4}{2})$

Bước 8.2.4.26

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.26.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{11}{5} - (0 - \frac{2 \cdot 2}{2})$

Bước 8.2.4.26.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.26.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{11}{5} - (0 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)})$

Bước 8.2.4.26.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{11}{5} - (0 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1})$

Bước 8.2.4.26.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{11}{5} - (0 - \frac{2}{1})$

Bước 8.2.4.26.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$\frac{11}{5} - (0 - 1 \cdot 2)$

Bước 8.2.4.27

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{11}{5} - (0 - 2)$

Bước 8.2.4.28

Trừ $2$ khỏi $0$ .

$\frac{11}{5} - - 2$

Bước 8.2.4.29

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$\frac{11}{5} + 2$

Bước 8.2.4.30

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$\frac{11}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5}$

Bước 8.2.4.31

Kết hợp $2$ và $\frac{5}{5}$ .

$\frac{11}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5}$

Bước 8.2.4.32

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{11 + 2 \cdot 5}{5}$

Bước 8.2.4.33

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.33.1

Nhân $2$ với $5$ .

$\frac{11 + 10}{5}$

Bước 8.2.4.33.2

Cộng $11$ và $10$ .

$\frac{21}{5}$

Bước 9

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{21}{5}$

Dạng thập phân:

$4.2$

Dạng hỗn số:

$4 \frac{1}{5}$

Bước 10