Giải tích Ví dụ

$\int_{2}^{x^{2}} \arctan (t) d t$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \arctan (t)$ và $d v = 1$ .

$\arctan (t) t]_{2}^{x^{2}} - \int_{2}^{x^{2}} t \frac{1}{t^{2} + 1} d t$

Bước 2

Kết hợp $t$ và $\frac{1}{t^{2} + 1}$ .

$\arctan (t) t]_{2}^{x^{2}} - \int_{2}^{x^{2}} \frac{t}{t^{2} + 1} d t$

Bước 3

Giả sử $u = t^{2} + 1$ . Sau đó $d u = 2 t d t$ , nên $\frac{1}{2} d u = t d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u = t^{2} + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $t^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Bước 3.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $t^{2} + 1$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Bước 3.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 t + \frac{d}{d t} [1]$

Bước 3.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $1$ đối với $t$ là $0$ .

$2 t + 0$

Bước 3.1.5

Cộng $2 t$ và $0$ .

$2 t$

Bước 3.2

Thay giới hạn dưới vào cho $t$ trong $u = t^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 2^{2} + 1$

Bước 3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$u_{lower} = 4 + 1$

Bước 3.3.2

Cộng $4$ và $1$ .

$u_{lower} = 5$

Bước 3.4

Thay giới hạn trên vào cho $t$ trong $u = t^{2} + 1$ .

$u_{upper} = {(x^{2})}^{2} + 1$

Bước 3.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = x^{2 \cdot 2} + 1$

Bước 3.5.2

Nhân $2$ với $2$ .

$u_{upper} = x^{4} + 1$

Bước 3.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = x^{4} + 1$

Bước 3.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\arctan (t) t]_{2}^{x^{2}} - \int_{5}^{x^{4} + 1} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\arctan (t) t]_{2}^{x^{2}} - \int_{5}^{x^{4} + 1} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Bước 4.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u$ .

$\arctan (t) t]_{2}^{x^{2}} - \int_{5}^{x^{4} + 1} \frac{1}{2 u} d u$

Bước 5

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\arctan (t) t]_{2}^{x^{2}} - (\frac{1}{2} \int_{5}^{x^{4} + 1} \frac{1}{u} d u)$

Bước 6

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\arctan (t) t]_{2}^{x^{2}} - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{5}^{x^{4} + 1}$

Bước 7

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tính $\arctan (t) t$ tại $x^{2}$ và tại $2$ .

$(\arctan (x^{2}) x^{2}) - \arctan (2) \cdot 2 - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{5}^{x^{4} + 1}$

Bước 7.2

Tính $\ln (| u |)$ tại $x^{4} + 1$ và tại $5$ .

$(\arctan (x^{2}) x^{2}) - \arctan (2) \cdot 2 - \frac{1}{2} ((\ln (| x^{4} + 1 |)) - \ln (| 5 |))$

Bước 7.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\arctan (x^{2}) x^{2} - 2 \arctan (2) - \frac{1}{2} (\ln (| x^{4} + 1 |) - \ln (| 5 |))$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\arctan (x^{2}) x^{2} - 2 \arctan (2) - \frac{1}{2} \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{| 5 |})$

Bước 8.2

Kết hợp $\ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{| 5 |})$ và $\frac{1}{2}$ .

$\arctan (x^{2}) x^{2} - 2 \arctan (2) - \frac{\ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{| 5 |})}{2}$

Bước 8.3

Để viết $\arctan (x^{2}) x^{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{| 5 |})}{2} - 2 \arctan (2)$

Bước 8.4

Kết hợp $\arctan (x^{2}) x^{2}$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{\ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{| 5 |})}{2} - 2 \arctan (2)$

Bước 8.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot 2 - \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{| 5 |})}{2} - 2 \arctan (2)$

Bước 8.6

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\arctan (x^{2}) x^{2}$ .

$\frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{| 5 |})}{2} - 2 \arctan (2)$

Bước 9

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{2} (2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (\frac{1}{| 5 |} | x^{4} + 1 |)) - 2 \arctan (2)$

Bước 9.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.1

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $5$ là $5$ .

$\frac{1}{2} (2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (\frac{1}{5} | x^{4} + 1 |)) - 2 \arctan (2)$

Bước 9.2.1.2

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $| x^{4} + 1 |$ .

$\frac{1}{2} (2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})) - 2 \arctan (2)$

Bước 9.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{2} (2 \arctan (x^{2}) x^{2}) + \frac{1}{2} (- \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})) - 2 \arctan (2)$

Bước 9.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \arctan (x^{2}) x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (2 (\arctan (x^{2}) x^{2})) + \frac{1}{2} (- \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})) - 2 \arctan (2)$

Bước 9.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} (2 (\arctan (x^{2}) x^{2})) + \frac{1}{2} (- \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})) - 2 \arctan (2)$

Bước 9.2.3.3

Viết lại biểu thức.

$\arctan (x^{2}) x^{2} + \frac{1}{2} (- \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})) - 2 \arctan (2)$

Bước 9.2.4

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})$ .

$\arctan (x^{2}) x^{2} - \frac{\ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})}{2} - 2 \arctan (2)$

Bước 9.2.5

Để viết $\arctan (x^{2}) x^{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})}{2} - 2 \arctan (2)$

Bước 9.2.6

Kết hợp $\arctan (x^{2}) x^{2}$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{\ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})}{2} - 2 \arctan (2)$

Bước 9.2.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot 2 - \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})}{2} - 2 \arctan (2)$

Bước 9.2.8

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\arctan (x^{2}) x^{2}$ .

$\frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})}{2} - 2 \arctan (2)$

Bước 9.2.9

Tính $\arctan (2)$ .

$\frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})}{2} - 2 \cdot 1.10714871$

Bước 9.2.10

Nhân $- 2$ với $1.10714871$ .

$\frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})}{2} - 2.21429743$