Giải tích Ví dụ

$\int_{- 2}^{2} (2 x + 5) - (x^{2} + 2 x + 1) d x$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{- 2}^{2} 2 x d x + \int_{- 2}^{2} 5 d x + \int_{- 2}^{2} - (x^{2} + 2 x + 1) d x$

Bước 2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int_{- 2}^{2} x d x + \int_{- 2}^{2} 5 d x + \int_{- 2}^{2} - (x^{2} + 2 x + 1) d x$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{2}) + \int_{- 2}^{2} 5 d x + \int_{- 2}^{2} - (x^{2} + 2 x + 1) d x$

Bước 4

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{2}) + \int_{- 2}^{2} 5 d x + \int_{- 2}^{2} - (x^{2} + 2 x + 1) d x$

Bước 5

Áp dụng quy tắc hằng số.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{2}) + 5 x]_{- 2}^{2} + \int_{- 2}^{2} - (x^{2} + 2 x + 1) d x$

Bước 6

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{2}) + 5 x]_{- 2}^{2} - \int_{- 2}^{2} x^{2} + 2 x + 1 d x$

Bước 7

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{2}) + 5 x]_{- 2}^{2} - (\int_{- 2}^{2} x^{2} d x + \int_{- 2}^{2} 2 x d x + \int_{- 2}^{2} d x)$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{2}) + 5 x]_{- 2}^{2} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{2} + \int_{- 2}^{2} 2 x d x + \int_{- 2}^{2} d x)$

Bước 9

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{2}) + 5 x]_{- 2}^{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2} + \int_{- 2}^{2} 2 x d x + \int_{- 2}^{2} d x)$

Bước 10

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{2}) + 5 x]_{- 2}^{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2} + 2 \int_{- 2}^{2} x d x + \int_{- 2}^{2} d x)$

Bước 11

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{2}) + 5 x]_{- 2}^{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{2}) + \int_{- 2}^{2} d x)$

Bước 12

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{2}) + 5 x]_{- 2}^{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{2}) + \int_{- 2}^{2} d x)$

Bước 13

Áp dụng quy tắc hằng số.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{2}) + 5 x]_{- 2}^{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{2}) + x]_{- 2}^{2})$

Bước 14

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Kết hợp $\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2}$ và $x]_{- 2}^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{2}) + 5 x]_{- 2}^{2} - (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{2}) + \frac{x^{3}}{3} + x]_{- 2}^{2})$

Bước 14.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $2$ và tại $- 2$ .

$2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 5 x]_{- 2}^{2} - (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{2}) + \frac{x^{3}}{3} + x]_{- 2}^{2})$

Bước 14.2.2

Tính $5 x$ tại $2$ và tại $- 2$ .

$2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2 - (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{2}) + \frac{x^{3}}{3} + x]_{- 2}^{2})$

Bước 14.2.3

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $2$ và tại $- 2$ .

$2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + \frac{x^{3}}{3} + x]_{- 2}^{2})$

Bước 14.2.4

Tính $\frac{x^{3}}{3} + x$ tại $2$ và tại $- 2$ .

$2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Bước 14.2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.5.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$2 (\frac{4}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Bước 14.2.5.2

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Bước 14.2.5.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.5.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Bước 14.2.5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Bước 14.2.5.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$2 (\frac{2}{1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Bước 14.2.5.2.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$2 (2 - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Bước 14.2.5.3

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$2 (2 - \frac{4}{2}) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Bước 14.2.5.4

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.5.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$2 (2 - \frac{2 \cdot 2}{2}) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Bước 14.2.5.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.5.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$2 (2 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Bước 14.2.5.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (2 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Bước 14.2.5.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$2 (2 - \frac{2}{1}) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Bước 14.2.5.4.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$2 (2 - 1 \cdot 2) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Bước 14.2.5.5

Nhân $- 1$ với $2$ .

$2 (2 - 2) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Bước 14.2.5.6

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$2 \cdot 0 + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Bước 14.2.5.7

Nhân $2$ với $0$ .

$0 + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Bước 14.2.5.8

Nhân $5$ với $2$ .

$0 + 10 - 5 \cdot - 2 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Bước 14.2.5.9

Nhân $- 5$ với $- 2$ .

$0 + 10 + 10 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Bước 14.2.5.10

Cộng $10$ và $10$ .

$0 + 20 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Bước 14.2.5.11

Cộng $0$ và $20$ .

$20 - (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Bước 14.2.5.12

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$20 - (2 (\frac{4}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Bước 14.2.5.13

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.5.13.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$20 - (2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Bước 14.2.5.13.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.5.13.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$20 - (2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Bước 14.2.5.13.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$20 - (2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Bước 14.2.5.13.2.3

Viết lại biểu thức.

$20 - (2 (\frac{2}{1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Bước 14.2.5.13.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$20 - (2 (2 - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Bước 14.2.5.14

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$20 - (2 (2 - \frac{4}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Bước 14.2.5.15

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.5.15.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$20 - (2 (2 - \frac{2 \cdot 2}{2}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Bước 14.2.5.15.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.5.15.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$20 - (2 (2 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Bước 14.2.5.15.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$20 - (2 (2 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Bước 14.2.5.15.2.3

Viết lại biểu thức.

$20 - (2 (2 - \frac{2}{1}) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Bước 14.2.5.15.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$20 - (2 (2 - 1 \cdot 2) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Bước 14.2.5.16

Nhân $- 1$ với $2$ .

$20 - (2 (2 - 2) + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Bước 14.2.5.17

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$20 - (2 \cdot 0 + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Bước 14.2.5.18

Nhân $2$ với $0$ .

$20 - (0 + (\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Bước 14.2.5.19

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$20 - (0 + \frac{8}{3} + 2 - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Bước 14.2.5.20

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$20 - (0 + \frac{8}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Bước 14.2.5.21

Kết hợp $2$ và $\frac{3}{3}$ .

$20 - (0 + \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Bước 14.2.5.22

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$20 - (0 + \frac{8 + 2 \cdot 3}{3} - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Bước 14.2.5.23

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.5.23.1

Nhân $2$ với $3$ .

$20 - (0 + \frac{8 + 6}{3} - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Bước 14.2.5.23.2

Cộng $8$ và $6$ .

$20 - (0 + \frac{14}{3} - (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2))$

Bước 14.2.5.24

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $3$ .

$20 - (0 + \frac{14}{3} - (\frac{- 8}{3} - 2))$

Bước 14.2.5.25

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$20 - (0 + \frac{14}{3} - (- \frac{8}{3} - 2))$

Bước 14.2.5.26

Để viết $- 2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$20 - (0 + \frac{14}{3} - (- \frac{8}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3}))$

Bước 14.2.5.27

Kết hợp $- 2$ và $\frac{3}{3}$ .

$20 - (0 + \frac{14}{3} - (- \frac{8}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}))$

Bước 14.2.5.28

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$20 - (0 + \frac{14}{3} - \frac{- 8 - 2 \cdot 3}{3})$

Bước 14.2.5.29

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.5.29.1

Nhân $- 2$ với $3$ .

$20 - (0 + \frac{14}{3} - \frac{- 8 - 6}{3})$

Bước 14.2.5.29.2

Trừ $6$ khỏi $- 8$ .

$20 - (0 + \frac{14}{3} - \frac{- 14}{3})$

Bước 14.2.5.30

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$20 - (0 + \frac{14}{3} - - \frac{14}{3})$

Bước 14.2.5.31

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$20 - (0 + \frac{14}{3} + 1 (\frac{14}{3}))$

Bước 14.2.5.32

Nhân $\frac{14}{3}$ với $1$ .

$20 - (0 + \frac{14}{3} + \frac{14}{3})$

Bước 14.2.5.33

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$20 - (0 + \frac{14 + 14}{3})$

Bước 14.2.5.34

Cộng $14$ và $14$ .

$20 - (0 + \frac{28}{3})$

Bước 14.2.5.35

Cộng $0$ và $\frac{28}{3}$ .

$20 - \frac{28}{3}$

Bước 14.2.5.36

Để viết $20$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$20 \cdot \frac{3}{3} - \frac{28}{3}$

Bước 14.2.5.37

Kết hợp $20$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20 \cdot 3}{3} - \frac{28}{3}$

Bước 14.2.5.38

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{20 \cdot 3 - 28}{3}$

Bước 14.2.5.39

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.5.39.1

Nhân $20$ với $3$ .

$\frac{60 - 28}{3}$

Bước 14.2.5.39.2

Trừ $28$ khỏi $60$ .

$\frac{32}{3}$

Bước 15

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{32}{3}$

Dạng thập phân:

$10.\overline{6}$

Dạng hỗn số:

$10 \frac{2}{3}$

Bước 16