Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{4} 4 x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 1 d x$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{1}^{4} 4 x^{3} d x + \int_{1}^{4} - 2 x^{2} d x + \int_{1}^{4} 3 x d x + \int_{1}^{4} d x$

Bước 2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$4 \int_{1}^{4} x^{3} d x + \int_{1}^{4} - 2 x^{2} d x + \int_{1}^{4} 3 x d x + \int_{1}^{4} d x$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 2 x^{2} d x + \int_{1}^{4} 3 x d x + \int_{1}^{4} d x$

Bước 4

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x^{4}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 2 x^{2} d x + \int_{1}^{4} 3 x d x + \int_{1}^{4} d x$

Bước 5

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 2 \int_{1}^{4} x^{2} d x + \int_{1}^{4} 3 x d x + \int_{1}^{4} d x$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 3 x d x + \int_{1}^{4} d x$

Bước 7

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 3 x d x + \int_{1}^{4} d x$

Bước 8

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + 3 \int_{1}^{4} x d x + \int_{1}^{4} d x$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} d x$

Bước 10

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} d x$

Bước 11

Áp dụng quy tắc hằng số.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + x]_{1}^{4}$

Bước 12

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Tính $\frac{x^{4}}{4}$ tại $4$ và tại $1$ .

$4 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + x]_{1}^{4}$

Bước 12.2

Tính $\frac{x^{3}}{3}$ tại $4$ và tại $1$ .

$4 (\frac{4^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + x]_{1}^{4}$

Bước 12.3

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $4$ và tại $1$ .

$4 (\frac{4^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + x]_{1}^{4}$

Bước 12.4

Tính $x$ tại $4$ và tại $1$ .

$4 (\frac{4^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Bước 12.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $4$ .

$4 (\frac{256}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Bước 12.5.2

Triệt tiêu thừa số chung của $256$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $256$ .

$4 (\frac{4 \cdot 64}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Bước 12.5.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$4 (\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Bước 12.5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 (\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Bước 12.5.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$4 (\frac{64}{1} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Bước 12.5.2.2.4

Chia $64$ cho $1$ .

$4 (64 - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Bước 12.5.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$4 (64 - \frac{1}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Bước 12.5.4

Để viết $64$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$4 (64 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Bước 12.5.5

Kết hợp $64$ và $\frac{4}{4}$ .

$4 (\frac{64 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Bước 12.5.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$4 \frac{64 \cdot 4 - 1}{4} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Bước 12.5.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.7.1

Nhân $64$ với $4$ .

$4 \frac{256 - 1}{4} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Bước 12.5.7.2

Trừ $1$ khỏi $256$ .

$4 (\frac{255}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Bước 12.5.8

Kết hợp $4$ và $\frac{255}{4}$ .

$\frac{4 \cdot 255}{4} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Bước 12.5.9

Nhân $4$ với $255$ .

$\frac{1020}{4} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Bước 12.5.10

Triệt tiêu thừa số chung của $1020$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.10.1

Đưa $4$ ra ngoài $1020$ .

$\frac{4 \cdot 255}{4} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Bước 12.5.10.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.10.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\frac{4 \cdot 255}{4 (1)} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Bước 12.5.10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 \cdot 255}{4 \cdot 1} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Bước 12.5.10.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{255}{1} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Bước 12.5.10.2.4

Chia $255$ cho $1$ .

$255 - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Bước 12.5.11

Nâng $4$ lên lũy thừa $3$ .

$255 - 2 (\frac{64}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Bước 12.5.12

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$255 - 2 (\frac{64}{3} - \frac{1}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Bước 12.5.13

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$255 - 2 \frac{64 - 1}{3} + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Bước 12.5.14

Trừ $1$ khỏi $64$ .

$255 - 2 (\frac{63}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Bước 12.5.15

Triệt tiêu thừa số chung của $63$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.15.1

Đưa $3$ ra ngoài $63$ .

$255 - 2 \frac{3 \cdot 21}{3} + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Bước 12.5.15.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.15.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$255 - 2 \frac{3 \cdot 21}{3 (1)} + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Bước 12.5.15.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$255 - 2 \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 1} + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Bước 12.5.15.2.3

Viết lại biểu thức.

$255 - 2 (\frac{21}{1}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Bước 12.5.15.2.4

Chia $21$ cho $1$ .

$255 - 2 \cdot 21 + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Bước 12.5.16

Nhân $- 2$ với $21$ .

$255 - 42 + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Bước 12.5.17

Trừ $42$ khỏi $255$ .

$213 + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Bước 12.5.18

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$213 + 3 (\frac{16}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Bước 12.5.19

Triệt tiêu thừa số chung của $16$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.19.1

Đưa $2$ ra ngoài $16$ .

$213 + 3 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Bước 12.5.19.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.19.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$213 + 3 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Bước 12.5.19.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$213 + 3 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Bước 12.5.19.2.3

Viết lại biểu thức.

$213 + 3 (\frac{8}{1} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Bước 12.5.19.2.4

Chia $8$ cho $1$ .

$213 + 3 (8 - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Bước 12.5.20

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$213 + 3 (8 - \frac{1}{2}) + 4 - 1$

Bước 12.5.21

Để viết $8$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$213 + 3 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + 4 - 1$

Bước 12.5.22

Kết hợp $8$ và $\frac{2}{2}$ .

$213 + 3 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + 4 - 1$

Bước 12.5.23

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$213 + 3 \frac{8 \cdot 2 - 1}{2} + 4 - 1$

Bước 12.5.24

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.24.1

Nhân $8$ với $2$ .

$213 + 3 \frac{16 - 1}{2} + 4 - 1$

Bước 12.5.24.2

Trừ $1$ khỏi $16$ .

$213 + 3 (\frac{15}{2}) + 4 - 1$

Bước 12.5.25

Kết hợp $3$ và $\frac{15}{2}$ .

$213 + \frac{3 \cdot 15}{2} + 4 - 1$

Bước 12.5.26

Nhân $3$ với $15$ .

$213 + \frac{45}{2} + 4 - 1$

Bước 12.5.27

Để viết $213$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$213 \cdot \frac{2}{2} + \frac{45}{2} + 4 - 1$

Bước 12.5.28

Kết hợp $213$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{213 \cdot 2}{2} + \frac{45}{2} + 4 - 1$

Bước 12.5.29

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{213 \cdot 2 + 45}{2} + 4 - 1$

Bước 12.5.30

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.30.1

Nhân $213$ với $2$ .

$\frac{426 + 45}{2} + 4 - 1$

Bước 12.5.30.2

Cộng $426$ và $45$ .

$\frac{471}{2} + 4 - 1$

Bước 12.5.31

Trừ $1$ khỏi $4$ .

$\frac{471}{2} + 3$

Bước 12.5.32

Để viết $3$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{471}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Bước 12.5.33

Kết hợp $3$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{471}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Bước 12.5.34

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{471 + 3 \cdot 2}{2}$

Bước 12.5.35

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.35.1

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{471 + 6}{2}$

Bước 12.5.35.2

Cộng $471$ và $6$ .

$\frac{477}{2}$

Bước 13

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{477}{2}$

Dạng thập phân:

$238.5$

Dạng hỗn số:

$238 \frac{1}{2}$

Bước 14