Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{4} 5 y \sqrt{y} + 3 \sqrt{y} d y$

Bước 1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{y}$ ở dạng $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} 5 y \cdot y^{\frac{1}{2}} + 3 \sqrt{y} d y$

Bước 1.2

Nhân $y$ với $y^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Di chuyển $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} 5 (y^{\frac{1}{2}} y) + 3 \sqrt{y} d y$

Bước 1.2.2

Nhân $y^{\frac{1}{2}}$ với $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\int_{1}^{4} 5 (y^{\frac{1}{2}} y^{1}) + 3 \sqrt{y} d y$

Bước 1.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int_{1}^{4} 5 y^{\frac{1}{2} + 1} + 3 \sqrt{y} d y$

Bước 1.2.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\int_{1}^{4} 5 y^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + 3 \sqrt{y} d y$

Bước 1.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int_{1}^{4} 5 y^{\frac{1 + 2}{2}} + 3 \sqrt{y} d y$

Bước 1.2.5

Cộng $1$ và $2$ .

$\int_{1}^{4} 5 y^{\frac{3}{2}} + 3 \sqrt{y} d y$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{1}^{4} 5 y^{\frac{3}{2}} d y + \int_{1}^{4} 3 \sqrt{y} d y$

Bước 3

Vì $5$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$5 \int_{1}^{4} y^{\frac{3}{2}} d y + \int_{1}^{4} 3 \sqrt{y} d y$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{\frac{3}{2}}$ đối với $y$ là $\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}}$ .

$5 (\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 3 \sqrt{y} d y$

Bước 5

Kết hợp $\frac{2}{5}$ và $y^{\frac{5}{2}}$ .

$5 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 3 \sqrt{y} d y$

Bước 6

Vì $3$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$5 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4}) + 3 \int_{1}^{4} \sqrt{y} d y$

Bước 7

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{y}$ ở dạng $y^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4}) + 3 \int_{1}^{4} y^{\frac{1}{2}} d y$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{\frac{1}{2}}$ đối với $y$ là $\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}$ .

$5 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4})$

Bước 9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $y^{\frac{3}{2}}$ .

$5 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4})$

Bước 9.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Tính $\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}$ tại $4$ và tại $1$ .

$5 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4})$

Bước 9.2.2

Tính $\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}$ tại $4$ và tại $1$ .

$5 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 9.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$5 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 9.2.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 9.2.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$5 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 9.2.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$5 (\frac{2 \cdot 2^{5}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 9.2.3.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $5$ .

$5 (\frac{2 \cdot 32}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 9.2.3.5

Nhân $2$ với $32$ .

$5 (\frac{64}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 9.2.3.6

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$5 (\frac{64}{5} - \frac{2 \cdot 1}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 9.2.3.7

Nhân $2$ với $1$ .

$5 (\frac{64}{5} - \frac{2}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 9.2.3.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$5 \frac{64 - 2}{5} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 9.2.3.9

Trừ $2$ khỏi $64$ .

$5 (\frac{62}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 9.2.3.10

Kết hợp $5$ và $\frac{62}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 62}{5} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 9.2.3.11

Nhân $5$ với $62$ .

$\frac{310}{5} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 9.2.3.12

Triệt tiêu thừa số chung của $310$ và $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.12.1

Đưa $5$ ra ngoài $310$ .

$\frac{5 \cdot 62}{5} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 9.2.3.12.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.12.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $5$ .

$\frac{5 \cdot 62}{5 (1)} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 9.2.3.12.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 \cdot 62}{5 \cdot 1} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 9.2.3.12.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{62}{1} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 9.2.3.12.2.4

Chia $62$ cho $1$ .

$62 + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 9.2.3.13

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$62 + 3 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 9.2.3.14

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$62 + 3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 9.2.3.15

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.15.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$62 + 3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 9.2.3.15.2

Viết lại biểu thức.

$62 + 3 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 9.2.3.16

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$62 + 3 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 9.2.3.17

Nhân $2$ với $8$ .

$62 + 3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 9.2.3.18

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$62 + 3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1}{3})$

Bước 9.2.3.19

Nhân $2$ với $1$ .

$62 + 3 (\frac{16}{3} - \frac{2}{3})$

Bước 9.2.3.20

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$62 + 3 \frac{16 - 2}{3}$

Bước 9.2.3.21

Trừ $2$ khỏi $16$ .

$62 + 3 (\frac{14}{3})$

Bước 9.2.3.22

Kết hợp $3$ và $\frac{14}{3}$ .

$62 + \frac{3 \cdot 14}{3}$

Bước 9.2.3.23

Nhân $3$ với $14$ .

$62 + \frac{42}{3}$

Bước 9.2.3.24

Triệt tiêu thừa số chung của $42$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.24.1

Đưa $3$ ra ngoài $42$ .

$62 + \frac{3 \cdot 14}{3}$

Bước 9.2.3.24.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.24.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$62 + \frac{3 \cdot 14}{3 (1)}$

Bước 9.2.3.24.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$62 + \frac{3 \cdot 14}{3 \cdot 1}$

Bước 9.2.3.24.2.3

Viết lại biểu thức.

$62 + \frac{14}{1}$

Bước 9.2.3.24.2.4

Chia $14$ cho $1$ .

$62 + 14$

Bước 9.2.3.25

Cộng $62$ và $14$ .

$76$

Bước 10