Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{4} \sqrt{\frac{2}{x}} d x$

Bước 1

Viết lại $\sqrt{\frac{2}{x}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}} d x$

Bước 2

Vì $\sqrt{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\sqrt{2}$ ra khỏi tích phân.

$\sqrt{2} \int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Bước 3

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{2} \int_{1}^{4} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 3.2

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\sqrt{2} \int_{1}^{4} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Bước 3.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{2} \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Bước 3.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\sqrt{2} \int_{1}^{4} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Bước 3.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\sqrt{2} \int_{1}^{4} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- \frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{2} 2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{4}$

Bước 5

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính $2 x^{\frac{1}{2}}$ tại $4$ và tại $1$ .

$\sqrt{2} ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\sqrt{2} (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 5.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{2} (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 5.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sqrt{2} (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 5.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$\sqrt{2} (2 \cdot 2^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 5.2.4

Tính số mũ.

$\sqrt{2} (2 \cdot 2 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 5.2.5

Nhân $2$ với $2$ .

$\sqrt{2} (4 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 5.2.6

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\sqrt{2} (4 - 2 \cdot 1)$

Bước 5.2.7

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\sqrt{2} (4 - 2)$

Bước 5.2.8

Trừ $2$ khỏi $4$ .

$\sqrt{2} \cdot 2$

Bước 5.2.9

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$2 \sqrt{2}$

Dạng thập phân:

$2.82842712 \dots$

Bước 7