Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{3} 5 n^{- 2} - n^{- 3} d n$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{1}^{3} 5 n^{- 2} d n + \int_{1}^{3} - n^{- 3} d n$

Bước 2

Vì $5$ không đổi đối với $n$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$5 \int_{1}^{3} n^{- 2} d n + \int_{1}^{3} - n^{- 3} d n$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $n^{- 2}$ đối với $n$ là $- n^{- 1}$ .

$5 (- n^{- 1}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} - n^{- 3} d n$

Bước 4

Vì $- 1$ không đổi đối với $n$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$5 (- n^{- 1}]_{1}^{3}) - \int_{1}^{3} n^{- 3} d n$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $n^{- 3}$ đối với $n$ là $- \frac{1}{2} n^{- 2}$ .

$5 (- n^{- 1}]_{1}^{3}) - (- \frac{1}{2} n^{- 2}]_{1}^{3})$

Bước 6

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Kết hợp $n^{- 2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$5 (- n^{- 1}]_{1}^{3}) - (- \frac{n^{- 2}}{2}]_{1}^{3})$

Bước 6.1.2

Di chuyển $n^{- 2}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (- n^{- 1}]_{1}^{3}) - (- \frac{1}{2 n^{2}}]_{1}^{3})$

Bước 6.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Tính $- n^{- 1}$ tại $3$ và tại $1$ .

$5 ((- 3^{- 1}) + 1^{- 1}) - (- \frac{1}{2 n^{2}}]_{1}^{3})$

Bước 6.2.2

Tính $- \frac{1}{2 n^{2}}$ tại $3$ và tại $1$ .

$5 ((- 3^{- 1}) + 1^{- 1}) - ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Bước 6.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (- \frac{1}{3} + 1^{- 1}) - ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Bước 6.2.3.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$5 (- \frac{1}{3} + 1) - ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Bước 6.2.3.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$5 (- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}) - ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Bước 6.2.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$5 \frac{- 1 + 3}{3} - ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Bước 6.2.3.5

Cộng $- 1$ và $3$ .

$5 (\frac{2}{3}) - ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Bước 6.2.3.6

Kết hợp $5$ và $\frac{2}{3}$ .

$\frac{5 \cdot 2}{3} - ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Bước 6.2.3.7

Nhân $5$ với $2$ .

$\frac{10}{3} - ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Bước 6.2.3.8

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{10}{3} - (- \frac{1}{2 \cdot 9} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Bước 6.2.3.9

Nhân $2$ với $9$ .

$\frac{10}{3} - (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Bước 6.2.3.10

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{10}{3} - (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2 \cdot 1})$

Bước 6.2.3.11

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{10}{3} - (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2})$

Bước 6.2.3.12

Để viết $\frac{1}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{9}{9}$ .

$\frac{10}{3} - (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{9})$

Bước 6.2.3.13

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $18$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.13.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{9}{9}$ .

$\frac{10}{3} - (- \frac{1}{18} + \frac{9}{2 \cdot 9})$

Bước 6.2.3.13.2

Nhân $2$ với $9$ .

$\frac{10}{3} - (- \frac{1}{18} + \frac{9}{18})$

Bước 6.2.3.14

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{10}{3} - \frac{- 1 + 9}{18}$

Bước 6.2.3.15

Cộng $- 1$ và $9$ .

$\frac{10}{3} - \frac{8}{18}$

Bước 6.2.3.16

Triệt tiêu thừa số chung của $8$ và $18$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.16.1

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$\frac{10}{3} - \frac{2 (4)}{18}$

Bước 6.2.3.16.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.16.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $18$ .

$\frac{10}{3} - \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 9}$

Bước 6.2.3.16.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{10}{3} - \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 9}$

Bước 6.2.3.16.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{10}{3} - \frac{4}{9}$

Bước 6.2.3.17

Để viết $\frac{10}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{9}$

Bước 6.2.3.18

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $9$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.18.1

Nhân $\frac{10}{3}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10 \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{4}{9}$

Bước 6.2.3.18.2

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{10 \cdot 3}{9} - \frac{4}{9}$

Bước 6.2.3.19

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{10 \cdot 3 - 4}{9}$

Bước 6.2.3.20

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.20.1

Nhân $10$ với $3$ .

$\frac{30 - 4}{9}$

Bước 6.2.3.20.2

Trừ $4$ khỏi $30$ .

$\frac{26}{9}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{26}{9}$

Dạng thập phân:

$2.\overline{8}$

Dạng hỗn số:

$2 \frac{8}{9}$

Bước 8