Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{- 1} {(12 x + 11)}^{2} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 12 x + 11$ . Sau đó $d u = 12 d x$ , nên $\frac{1}{12} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 12 x + 11$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $12 x + 11$ .

$\frac{d}{d x} [12 x + 11]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $12 x + 11$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [11]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $12$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $12 x$ đối với $x$ là $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [11]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [11]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $12$ với $1$ .

$12 + \frac{d}{d x} [11]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $11$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $11$ đối với $x$ là $0$ .

$12 + 0$

Bước 1.1.4.2

Cộng $12$ và $0$ .

$12$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 12 x + 11$ .

$u_{lower} = 12 \cdot 1 + 11$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nhân $12$ với $1$ .

$u_{lower} = 12 + 11$

Bước 1.3.2

Cộng $12$ và $11$ .

$u_{lower} = 23$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 12 x + 11$ .

$u_{upper} = 12 \cdot - 1 + 11$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Nhân $12$ với $- 1$ .

$u_{upper} = - 12 + 11$

Bước 1.5.2

Cộng $- 12$ và $11$ .

$u_{upper} = - 1$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 23$

$u_{upper} = - 1$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{23}^{- 1} u^{2} \frac{1}{12} d u$

Bước 2

Kết hợp $u^{2}$ và $\frac{1}{12}$ .

$\int_{23}^{- 1} \frac{u^{2}}{12} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{12}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{12}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{12} \int_{23}^{- 1} u^{2} d u$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{12} \frac{1}{3} u^{3}]_{23}^{- 1}$

Bước 5

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính $\frac{1}{3} u^{3}$ tại $- 1$ và tại $23$ .

$\frac{1}{12} ((\frac{1}{3} {(- 1)}^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 23^{3})$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{1}{12} (\frac{1}{3} \cdot - 1 - \frac{1}{3} \cdot 23^{3})$

Bước 5.2.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $- 1$ .

$\frac{1}{12} (\frac{- 1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 23^{3})$

Bước 5.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{12} (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 23^{3})$

Bước 5.2.4

Nâng $23$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{1}{12} (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 12167)$

Bước 5.2.5

Nhân $12167$ với $- 1$ .

$\frac{1}{12} (- \frac{1}{3} - 12167 (\frac{1}{3}))$

Bước 5.2.6

Kết hợp $- 12167$ và $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{12} (- \frac{1}{3} + \frac{- 12167}{3})$

Bước 5.2.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{12} (- \frac{1}{3} - \frac{12167}{3})$

Bước 5.2.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{- 1 - 12167}{3}$

Bước 5.2.9

Trừ $12167$ khỏi $- 1$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{- 12168}{3}$

Bước 5.2.10

Triệt tiêu thừa số chung của $- 12168$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.10.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 12168$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 \cdot - 4056}{3}$

Bước 5.2.10.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.10.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 \cdot - 4056}{3 (1)}$

Bước 5.2.10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 \cdot - 4056}{3 \cdot 1}$

Bước 5.2.10.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{- 4056}{1}$

Bước 5.2.10.2.4

Chia $- 4056$ cho $1$ .

$\frac{1}{12} \cdot - 4056$

Bước 5.2.11

Kết hợp $\frac{1}{12}$ và $- 4056$ .

$\frac{- 4056}{12}$

Bước 5.2.12

Triệt tiêu thừa số chung của $- 4056$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.12.1

Đưa $12$ ra ngoài $- 4056$ .

$\frac{12 \cdot - 338}{12}$

Bước 5.2.12.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.12.2.1

Đưa $12$ ra ngoài $12$ .

$\frac{12 \cdot - 338}{12 (1)}$

Bước 5.2.12.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{12 \cdot - 338}{12 \cdot 1}$

Bước 5.2.12.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 338}{1}$

Bước 5.2.12.2.4

Chia $- 338$ cho $1$ .

$- 338$

Bước 6