Giải tích Ví dụ

$\int_{- 1}^{1} e^{- 2 x} d x$

Bước 1

Giả sử $u = - 2 x$ . Sau đó $d u = - 2 d x$ , nên $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = - 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Bước 1.1.2

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Bước 1.1.4

Nhân $- 2$ với $1$ .

$- 2$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = - 2 x$ .

$u_{lower} = - 2 \cdot - 1$

Bước 1.3

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$u_{lower} = 2$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = - 2 x$ .

$u_{upper} = - 2 \cdot 1$

Bước 1.5

Nhân $- 2$ với $1$ .

$u_{upper} = - 2$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = - 2$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{2}^{- 2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int_{2}^{- 2} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Bước 2.2

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\int_{2}^{- 2} - \frac{e^{u}}{2} d u$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int_{2}^{- 2} \frac{e^{u}}{2} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$- (\frac{1}{2} \int_{2}^{- 2} e^{u} d u)$

Bước 5

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{2}^{- 2}$

Bước 6

Tính $e^{u}$ tại $- 2$ và tại $2$ .

$- \frac{1}{2} (e^{- 2} - e^{2})$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{1}{2} e^{- 2} - \frac{1}{2} (- e^{2})$

Bước 7.2

Kết hợp $e^{- 2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{e^{- 2}}{2} - \frac{1}{2} (- e^{2})$

Bước 7.3

Nhân $- \frac{1}{2} (- e^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- \frac{e^{- 2}}{2} + 1 (\frac{1}{2}) e^{2}$

Bước 7.3.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$- \frac{e^{- 2}}{2} + \frac{1}{2} e^{2}$

Bước 7.3.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{2}$ .

$- \frac{e^{- 2}}{2} + \frac{e^{2}}{2}$

Bước 7.4

Di chuyển $e^{- 2}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{e^{2}}{2}$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{e^{2}}{2}$

Dạng thập phân:

$3.62686040 \dots$

Bước 9