Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{π} x \sin (2 x) d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = \sin (2 x)$ .

$x (- \frac{1}{2} \cos (2 x))]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $\cos (2 x)$ và $\frac{1}{2}$ .

$x (- \frac{\cos (2 x)}{2})]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Bước 2.2

Kết hợp $x$ và $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Bước 3

Vì $- \frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- \frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} - (- \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (2 x) d x)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + 1 (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (2 x) d x)$

Bước 4.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (2 x) d x$

Bước 5

Giả sử $u = 2 x$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 5.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 5.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 5.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Bước 5.3

Nhân $2$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 5.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 π$

Bước 5.5

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

Bước 5.6

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Bước 6

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u)}{2} d u$

Bước 7

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u)$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u$

Bước 8.2

Nhân $2$ với $2$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + \frac{1}{4} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u$

Bước 9

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + \frac{1}{4} \sin (u)]_{0}^{2 π}$

Bước 10

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Tính $- \frac{x \cos (2 x)}{2}$ tại $π$ và tại $0$ .

$(- \frac{π \cos (2 π)}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} \sin (u)]_{0}^{2 π}$

Bước 10.2

Tính $\sin (u)$ tại $2 π$ và tại $0$ .

$(- \frac{π \cos (2 π)}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Bước 10.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Nhân $2$ với $0$ .

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{0 \cos (0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Bước 10.3.2

Nhân $0$ với $\cos (0)$ .

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{0}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Bước 10.3.3

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{2 (0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Bước 10.3.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Bước 10.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Bước 10.3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{0}{1} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Bước 10.3.3.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + 0 + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Bước 10.3.4

Cộng $- \frac{π \cos (2 π)}{2}$ và $0$ .

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Bước 10.3.5

Để viết $\frac{1}{4} (\sin (2 π) - \sin (0))$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (2 π) - \sin (0)) \cdot \frac{2}{2}$

Bước 10.3.6

Kết hợp $\frac{1}{4} (\sin (2 π) - \sin (0))$ và $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{\frac{1}{4} (\sin (2 π) - \sin (0)) \cdot 2}{2}$

Bước 10.3.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{1}{4} (\sin (2 π) - \sin (0)) \cdot 2}{2}$

Bước 10.3.8

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{2}{4} (\sin (2 π) - \sin (0))}{2}$

Bước 10.3.9

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.9.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{2 (1)}{4} (\sin (2 π) - \sin (0))}{2}$

Bước 10.3.9.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.9.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} (\sin (2 π) - \sin (0))}{2}$

Bước 10.3.9.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} (\sin (2 π) - \sin (0))}{2}$

Bước 10.3.9.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0))}{2}$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0)}{2}$

Bước 11.2

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{1}{2} (\sin (2 π) + 0)}{2}$

Bước 11.3

Cộng $\sin (2 π)$ và $0$ .

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{1}{2} \sin (2 π)}{2}$

Bước 11.4

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sin (2 π)$ .

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{\sin (2 π)}{2}}{2}$

Bước 11.5

Nhân $\frac{- π \cos (2 π) + \frac{\sin (2 π)}{2}}{2}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{- π \cos (2 π) + \frac{\sin (2 π)}{2}}{2}$

Bước 11.6

Kết hợp.

$\frac{2 (- π \cos (2 π) + \frac{\sin (2 π)}{2})}{2 \cdot 2}$

Bước 11.7

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 (- π \cos (2 π)) + 2 \frac{\sin (2 π)}{2}}{2 \cdot 2}$

Bước 11.8

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.8.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (- π \cos (2 π)) + 2 \frac{\sin (2 π)}{2}}{2 \cdot 2}$

Bước 11.8.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 (- π \cos (2 π)) + \sin (2 π)}{2 \cdot 2}$

Bước 11.9

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{- 2 (π \cos (2 π)) + \sin (2 π)}{2 \cdot 2}$

Bước 11.10

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π)}{4}$

Bước 11.11

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2 π \cos (2 π)$ .

$\frac{- (2 π \cos (2 π)) + \sin (2 π)}{4}$

Bước 11.12

Đưa $- 1$ ra ngoài $\sin (2 π)$ .

$\frac{- (2 π \cos (2 π)) - 1 (- \sin (2 π))}{4}$

Bước 11.13

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (2 π \cos (2 π)) - 1 (- \sin (2 π))$ .

$\frac{- (2 π \cos (2 π) - \sin (2 π))}{4}$

Bước 11.14

Viết lại $- (2 π \cos (2 π) - \sin (2 π))$ ở dạng $- 1 (2 π \cos (2 π) - \sin (2 π))$ .

$\frac{- 1 (2 π \cos (2 π) - \sin (2 π))}{4}$

Bước 11.15

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2 π \cos (2 π) - \sin (2 π)}{4}$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$- \frac{2 π \cos (0) - \sin (2 π)}{4}$

Bước 12.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$- \frac{2 π \cdot 1 - \sin (2 π)}{4}$

Bước 12.3

Nhân $2$ với $1$ .

$- \frac{2 π - \sin (2 π)}{4}$

Bước 12.4

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$- \frac{2 π - \sin (0)}{4}$

Bước 12.5

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$- \frac{2 π - 0}{4}$

Bước 12.6

Nhân $- 1$ với $0$ .

$- \frac{2 π + 0}{4}$

Bước 12.7

Triệt tiêu thừa số chung của $2 π + 0$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.7.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 π$ .

$- \frac{2 (π) + 0}{4}$

Bước 12.7.2

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$- \frac{2 (π) + 2 (0)}{4}$

Bước 12.7.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (π) + 2 (0)$ .

$- \frac{2 (π + 0)}{4}$

Bước 12.7.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.7.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$- \frac{2 (π + 0)}{2 (2)}$

Bước 12.7.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{2 (π + 0)}{2 \cdot 2}$

Bước 12.7.4.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{π + 0}{2}$

Bước 12.8

Cộng $π$ và $0$ .

$- \frac{π}{2}$

Bước 13

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{π}{2}$

Dạng thập phân:

$- 1.57079632 \dots$