Giải tích Ví dụ

$\int_{0.3}^{1.1} x^{3} \cot (x^{4}) d x$

Bước 1

Giả sử $u_{1} = x^{2}$ . Sau đó $d u_{1} = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{1} = x^{2}$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{lower} = {0.3}^{2}$

Bước 1.3

Nâng $0.3$ lên lũy thừa $2$ .

$u_{lower} = 0.09$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{upper} = {1.1}^{2}$

Bước 1.5

Nâng $1.1$ lên lũy thừa $2$ .

$u_{upper} = 1.21$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0.09$

$u_{upper} = 1.21$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ , $d u_{1}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{0.09}^{1.21} u_{1} \cot ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ ở dạng ${u_{1}}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u_{1}}$ ở dạng ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0.09}^{1.21} u_{1} \cot ({({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0.09}^{1.21} u_{1} \cot ({u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $4$ .

$\int_{0.09}^{1.21} u_{1} \cot ({u_{1}}^{\frac{4}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\int_{0.09}^{1.21} u_{1} \cot ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.1.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\int_{0.09}^{1.21} u_{1} \cot ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int_{0.09}^{1.21} u_{1} \cot ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.1.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int_{0.09}^{1.21} u_{1} \cot ({u_{1}}^{\frac{2}{1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.1.4.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$\int_{0.09}^{1.21} u_{1} \cot ({u_{1}}^{2}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $u_{1}$ .

$\int_{0.09}^{1.21} \frac{u_{1}}{2} \cot ({u_{1}}^{2}) d u_{1}$

Bước 2.3

Kết hợp $\frac{u_{1}}{2}$ và $\cot ({u_{1}}^{2})$ .

$\int_{0.09}^{1.21} \frac{u_{1} \cot ({u_{1}}^{2})}{2} d u_{1}$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int_{0.09}^{1.21} u_{1} \cot ({u_{1}}^{2}) d u_{1}$

Bước 4

Giả sử $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Sau đó $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Bước 4.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u_{1}$

Bước 4.2

Thay giới hạn dưới vào cho $u_{1}$ trong $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ .

$u_{lower} = {0.09}^{2}$

Bước 4.3

Nâng $0.09$ lên lũy thừa $2$ .

$u_{lower} = 0.0081$

Bước 4.4

Thay giới hạn trên vào cho $u_{1}$ trong $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ .

$u_{upper} = {1.21}^{2}$

Bước 4.5

Nâng $1.21$ lên lũy thừa $2$ .

$u_{upper} = 1.4641$

Bước 4.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0.0081$

$u_{upper} = 1.4641$

Bước 4.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ , $d u_{2}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\frac{1}{2} \int_{0.0081}^{1.4641} \cot (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 5

Kết hợp $\cot (u_{2})$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0.0081}^{1.4641} \frac{\cot (u_{2})}{2} d u_{2}$

Bước 6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0.0081}^{1.4641} \cot (u_{2}) d u_{2})$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0.0081}^{1.4641} \cot (u_{2}) d u_{2}$

Bước 7.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{1}{4} \int_{0.0081}^{1.4641} \cot (u_{2}) d u_{2}$

Bước 8

Tích phân của $\cot (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\ln (| \sin (u_{2}) |)$ .

$\frac{1}{4} \ln (| \sin (u_{2}) |)]_{0.0081}^{1.4641}$

Bước 9

Tính $\ln (| \sin (u_{2}) |)$ tại $1.4641$ và tại $0.0081$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| \sin (1.4641) |) - \ln (| \sin (0.0081) |))$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{4} \ln (\frac{| \sin (1.4641) |}{| \sin (0.0081) |})$

Bước 10.2

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $\ln (\frac{| \sin (1.4641) |}{| \sin (0.0081) |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| \sin (1.4641) |}{| \sin (0.0081) |})}{4}$

Bước 11

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{\ln (\frac{| \sin (1.4641) |}{| \sin (0.0081) |})}{4}$

Dạng thập phân:

$2.21460382 \dots$