Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{π} \sin (4 x) d x$

Bước 1

Giả sử $u = 4 x$ . Sau đó $d u = 4 d x$ , nên $\frac{1}{4} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 4 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Bước 1.1.2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Bước 1.1.4

Nhân $4$ với $1$ .

$4$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 4 x$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0$

Bước 1.3

Nhân $4$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 4 x$ .

$u_{upper} = 4 π$

Bước 1.5

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4 π$

Bước 1.6

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{0}^{4 π} \sin (u) \frac{1}{4} d u$

Bước 2

Kết hợp $\sin (u)$ và $\frac{1}{4}$ .

$\int_{0}^{4 π} \frac{\sin (u)}{4} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{4 π} \sin (u) d u$

Bước 4

Tích phân của $\sin (u)$ đối với $u$ là $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{4} - \cos (u)]_{0}^{4 π}$

Bước 5

Tính $- \cos (u)$ tại $4 π$ và tại $0$ .

$\frac{1}{4} (- \cos (4 π) + \cos (0))$

Bước 6

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$\frac{1}{4} (- \cos (4 π) + 1)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$\frac{1}{4} (- \cos (0) + 1)$

Bước 7.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$\frac{1}{4} (- 1 \cdot 1 + 1)$

Bước 7.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{4} (- 1 + 1)$

Bước 7.4

Cộng $- 1$ và $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0$

Bước 7.5

Nhân $\frac{1}{4}$ với $0$ .

$0$