Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{π} {(1 + \cos (7 t))}^{2} \sin (7 t) d t$

Bước 1

Giả sử $u_{2} = 1 + \cos (7 t)$ . Sau đó $d u_{2} = - 7 \sin (7 t) d t$ , nên $- \frac{1}{7} d u_{2} = \sin (7 t) d t$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{2} = 1 + \cos (7 t)$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $1 + \cos (7 t)$ .

$\frac{d}{d t} [1 + \cos (7 t)]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + \cos (7 t)$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$

Bước 1.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $1$ đối với $t$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = \cos (t)$ và $g (t) = 7 t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $7 t$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [7 t]$

Bước 1.1.3.1.2

Đạo hàm của $\cos (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \sin (u_{1})$ .

$0 - \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [7 t]$

Bước 1.1.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $7 t$ .

$0 - \sin (7 t) \frac{d}{d t} [7 t]$

Bước 1.1.3.2

Vì $7$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $7 t$ đối với $t$ là $7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 - \sin (7 t) (7 \frac{d}{d t} [t])$

Bước 1.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 - \sin (7 t) (7 \cdot 1)$

Bước 1.1.3.4

Nhân $7$ với $1$ .

$0 - \sin (7 t) \cdot 7$

Bước 1.1.3.5

Nhân $7$ với $- 1$ .

$0 - 7 \sin (7 t)$

Bước 1.1.4

Trừ $7 \sin (7 t)$ khỏi $0$ .

$- 7 \sin (7 t)$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $t$ trong $u_{2} = 1 + \cos (7 t)$ .

$u_{lower} = 1 + \cos (7 \cdot 0)$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Nhân $7$ với $0$ .

$u_{lower} = 1 + \cos (0)$

Bước 1.3.1.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$u_{lower} = 1 + 1$

Bước 1.3.2

Cộng $1$ và $1$ .

$u_{lower} = 2$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $t$ trong $u_{2} = 1 + \cos (7 t)$ .

$u_{upper} = 1 + \cos (7 π)$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$u_{upper} = 1 + \cos (π)$

Bước 1.5.1.2

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ hai.

$u_{upper} = 1 - \cos (0)$

Bước 1.5.1.3

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

Bước 1.5.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1$

Bước 1.5.2

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$u_{upper} = 0$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 0$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ , $d u_{2}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{2}^{0} {u_{2}}^{2} \frac{1}{- 7} d u_{2}$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int_{2}^{0} {u_{2}}^{2} (- \frac{1}{7}) d u_{2}$

Bước 2.2

Kết hợp ${u_{2}}^{2}$ và $\frac{1}{7}$ .

$\int_{2}^{0} - \frac{{u_{2}}^{2}}{7} d u_{2}$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int_{2}^{0} \frac{{u_{2}}^{2}}{7} d u_{2}$

Bước 4

Vì $\frac{1}{7}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{7}$ ra khỏi tích phân.

$- (\frac{1}{7} \int_{2}^{0} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{2}}^{2}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$- \frac{1}{7} \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{2}^{0}$

Bước 6

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ tại $0$ và tại $2$ .

$- \frac{1}{7} ((\frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$- \frac{1}{7} (\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Bước 6.2.2

Nhân $\frac{1}{3}$ với $0$ .

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Bước 6.2.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{1}{3} \cdot 8)$

Bước 6.2.4

Nhân $8$ với $- 1$ .

$- \frac{1}{7} (0 - 8 (\frac{1}{3}))$

Bước 6.2.5

Kết hợp $- 8$ và $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{7} (0 + \frac{- 8}{3})$

Bước 6.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{8}{3})$

Bước 6.2.7

Trừ $\frac{8}{3}$ khỏi $0$ .

$- \frac{1}{7} (- \frac{8}{3})$

Bước 6.2.8

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 (\frac{1}{7}) \frac{8}{3}$

Bước 6.2.9

Nhân $\frac{1}{7}$ với $1$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{8}{3}$

Bước 6.2.10

Nhân $\frac{1}{7}$ với $\frac{8}{3}$ .

$\frac{8}{7 \cdot 3}$

Bước 6.2.11

Nhân $7$ với $3$ .

$\frac{8}{21}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{8}{21}$

Dạng thập phân:

$0.\overline{380952}$