Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{2} 3 \sqrt{4 u + 1} d u$

Bước 1

Vì $3$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 \int_{0}^{2} \sqrt{4 u + 1} d u$

Bước 2

Giả sử $u_{1} = 4 u + 1$ . Sau đó $d u_{1} = 4 d u$ , nên $\frac{1}{4} d u_{1} = d u$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u_{1} = 4 u + 1$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d u}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $4 u + 1$ .

$\frac{d}{d u} [4 u + 1]$

Bước 2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 u + 1$ đối với $u$ là $\frac{d}{d u} [4 u] + \frac{d}{d u} [1]$ .

$\frac{d}{d u} [4 u] + \frac{d}{d u} [1]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d u} [4 u]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $u$ , nên đạo hàm của $4 u$ đối với $u$ là $4 \frac{d}{d u} [u]$ .

$4 \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [1]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d u} [1]$

Bước 2.1.3.3

Nhân $4$ với $1$ .

$4 + \frac{d}{d u} [1]$

Bước 2.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Vì $1$ là hằng số đối với $u$ , đạo hàm của $1$ đối với $u$ là $0$ .

$4 + 0$

Bước 2.1.4.2

Cộng $4$ và $0$ .

$4$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $u$ trong $u_{1} = 4 u + 1$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0 + 1$

Bước 2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nhân $4$ với $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Bước 2.3.2

Cộng $0$ và $1$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $u$ trong $u_{1} = 4 u + 1$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 2 + 1$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Nhân $4$ với $2$ .

$u_{upper} = 8 + 1$

Bước 2.5.2

Cộng $8$ và $1$ .

$u_{upper} = 9$

Bước 2.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Bước 2.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ , $d u_{1}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$3 \int_{1}^{9} \sqrt{u_{1}} \frac{1}{4} d u_{1}$

Bước 3

Kết hợp $\sqrt{u_{1}}$ và $\frac{1}{4}$ .

$3 \int_{1}^{9} \frac{\sqrt{u_{1}}}{4} d u_{1}$

Bước 4

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$3 (\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \sqrt{u_{1}} d u_{1})$

Bước 5

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $3$ .

$\frac{3}{4} \int_{1}^{9} \sqrt{u_{1}} d u_{1}$

Bước 5.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u_{1}}$ ở dạng ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{4} \int_{1}^{9} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ đối với $u_{1}$ là $\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3}{4} \frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9}$

Bước 7

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tính $\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ tại $9$ và tại $1$ .

$\frac{3}{4} ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 7.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 7.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 7.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 7.2.4

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 7.2.5

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $27$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 7.2.6

Nhân $2$ với $27$ .

$\frac{3}{4} (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 7.2.7

Triệt tiêu thừa số chung của $54$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.7.1

Đưa $3$ ra ngoài $54$ .

$\frac{3}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 7.2.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.7.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 7.2.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 7.2.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{4} (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 7.2.7.2.4

Chia $18$ cho $1$ .

$\frac{3}{4} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 7.2.8

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{3}{4} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1)$

Bước 7.2.9

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{3}{4} (18 - \frac{2}{3})$

Bước 7.2.10

Để viết $18$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{4} (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

Bước 7.2.11

Kết hợp $18$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3})$

Bước 7.2.12

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{18 \cdot 3 - 2}{3}$

Bước 7.2.13

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.13.1

Nhân $18$ với $3$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{54 - 2}{3}$

Bước 7.2.13.2

Trừ $2$ khỏi $54$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{52}{3}$

Bước 7.2.14

Nhân $\frac{3}{4}$ với $\frac{52}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 52}{4 \cdot 3}$

Bước 7.2.15

Nhân $3$ với $52$ .

$\frac{156}{4 \cdot 3}$

Bước 7.2.16

Nhân $4$ với $3$ .

$\frac{156}{12}$

Bước 7.2.17

Triệt tiêu thừa số chung của $156$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.17.1

Đưa $12$ ra ngoài $156$ .

$\frac{12 \cdot 13}{12}$

Bước 7.2.17.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.17.2.1

Đưa $12$ ra ngoài $12$ .

$\frac{12 \cdot 13}{12 (1)}$

Bước 7.2.17.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{12 \cdot 13}{12 \cdot 1}$

Bước 7.2.17.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{13}{1}$

Bước 7.2.17.2.4

Chia $13$ cho $1$ .

$13$

Bước 8