Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{3} x \sqrt{x + 1} d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = \sqrt{x + 1}$ .

$x (\frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và ${(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$x \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 2.2

Kết hợp $x$ và $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{x (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 3

Vì $\frac{2}{3}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{2}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{x (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{3} - (\frac{2}{3} \int_{0}^{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Bước 4

Giả sử $u = x + 1$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = x + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 4.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 4.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 4.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 4.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Bước 4.3

Cộng $0$ và $1$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 4.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = x + 1$ .

$u_{upper} = 3 + 1$

Bước 4.5

Cộng $3$ và $1$ .

$u_{upper} = 4$

Bước 4.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

Bước 4.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\frac{x (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{3} - \frac{2}{3} \int_{1}^{4} u^{\frac{3}{2}} d u$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{3}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{1}^{4}$

Bước 6

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính $\frac{x (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3}$ tại $3$ và tại $0$ .

$(\frac{3 (2 {(3 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{1}^{4}$

Bước 6.2

Tính $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ tại $4$ và tại $1$ .

$(\frac{3 (2 {(3 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Cộng $3$ và $1$ .

$\frac{3 (2 \cdot 4^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{3 (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.3

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 (2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 (2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 (2 \cdot 2^{3})}{3} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.5

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{3 (2 \cdot 8)}{3} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.6

Nhân $2$ với $8$ .

$\frac{3 \cdot 16}{3} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.7

Nhân $3$ với $16$ .

$\frac{48}{3} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.8

Triệt tiêu thừa số chung của $48$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.8.1

Đưa $3$ ra ngoài $48$ .

$\frac{3 \cdot 16}{3} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.8.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.8.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 \cdot 16}{3 (1)} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot 16}{3 \cdot 1} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.8.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{16}{1} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.8.2.4

Chia $16$ cho $1$ .

$16 - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.9

Cộng $0$ và $1$ .

$16 - \frac{0 (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.10

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$16 - \frac{0 (2 \cdot 1)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.11

Nhân $2$ với $1$ .

$16 - \frac{0 \cdot 2}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.12

Nhân $0$ với $2$ .

$16 - \frac{0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.13

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.13.1

Đưa $3$ ra ngoài $0$ .

$16 - \frac{3 (0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.13.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.13.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$16 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.13.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$16 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.13.2.3

Viết lại biểu thức.

$16 - \frac{0}{1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.13.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$16 - 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.14

Nhân $- 1$ với $0$ .

$16 + 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.15

Cộng $16$ và $0$ .

$16 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.16

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$16 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.17

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.18

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.18.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$16 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.18.2

Viết lại biểu thức.

$16 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 2^{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.19

Nâng $2$ lên lũy thừa $5$ .

$16 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 32 - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.20

Kết hợp $\frac{2}{5}$ và $32$ .

$16 - \frac{2}{3} (\frac{2 \cdot 32}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.21

Nhân $2$ với $32$ .

$16 - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Bước 6.3.22

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$16 - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1)$

Bước 6.3.23

Nhân $- 1$ với $1$ .

$16 - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5})$

Bước 6.3.24

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$16 - \frac{2}{3} \cdot \frac{64 - 2}{5}$

Bước 6.3.25

Trừ $2$ khỏi $64$ .

$16 - \frac{2}{3} \cdot \frac{62}{5}$

Bước 6.3.26

Nhân $\frac{62}{5}$ với $\frac{2}{3}$ .

$16 - \frac{62 \cdot 2}{5 \cdot 3}$

Bước 6.3.27

Nhân $62$ với $2$ .

$16 - \frac{124}{5 \cdot 3}$

Bước 6.3.28

Nhân $5$ với $3$ .

$16 - \frac{124}{15}$

Bước 6.3.29

Để viết $16$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{15}{15}$ .

$16 \cdot \frac{15}{15} - \frac{124}{15}$

Bước 6.3.30

Kết hợp $16$ và $\frac{15}{15}$ .

$\frac{16 \cdot 15}{15} - \frac{124}{15}$

Bước 6.3.31

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{16 \cdot 15 - 124}{15}$

Bước 6.3.32

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.32.1

Nhân $16$ với $15$ .

$\frac{240 - 124}{15}$

Bước 6.3.32.2

Trừ $124$ khỏi $240$ .

$\frac{116}{15}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{116}{15}$

Dạng thập phân:

$7.7\overline{3}$

Dạng hỗn số:

$7 \frac{11}{15}$

Bước 8