Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\ln (2)} \frac{e^{x} + e^{- x}}{3} d x$

Bước 1

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{\ln (2)} e^{x} + e^{- x} d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{3} (\int_{0}^{\ln (2)} e^{x} d x + \int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x)$

Bước 3

Tích phân của $e^{x}$ đối với $x$ là $e^{x}$ .

$\frac{1}{3} (e^{x}]_{0}^{\ln (2)} + \int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x)$

Bước 4

Giả sử $u = - x$ . Sau đó $d u = - d x$ , nên $- d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = - x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Bước 4.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Bước 4.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1$

Bước 4.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Bước 4.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 4.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = - x$ .

$u_{upper} = - \ln (2)$

Bước 4.5

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - \ln (2)$

Bước 4.6

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\frac{1}{3} (e^{x}]_{0}^{\ln (2)} + \int_{0}^{- \ln (2)} - e^{u} d u)$

Bước 5

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} (e^{x}]_{0}^{\ln (2)} - \int_{0}^{- \ln (2)} e^{u} d u)$

Bước 6

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} (e^{x}]_{0}^{\ln (2)} - (e^{u}]_{0}^{- \ln (2)}))$

Bước 7

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tính $e^{x}$ tại $\ln (2)$ và tại $0$ .

$\frac{1}{3} ((e^{\ln (2)}) - e^{0} - (e^{u}]_{0}^{- \ln (2)}))$

Bước 7.2

Tính $e^{u}$ tại $- \ln (2)$ và tại $0$ .

$\frac{1}{3} ((e^{\ln (2)}) - e^{0} - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0}))$

Bước 7.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$\frac{1}{3} (2 - e^{0} - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0}))$

Bước 7.3.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\frac{1}{3} (2 - 1 \cdot 1 - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0}))$

Bước 7.3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{3} (2 - 1 - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0}))$

Bước 7.3.4

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\frac{1}{3} (1 - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0}))$

Bước 7.3.5

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\frac{1}{3} (1 - (e^{- \ln (2)} - 1 \cdot 1))$

Bước 7.3.6

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{3} (1 - (e^{- \ln (2)} - 1))$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1.1

Rút gọn $- \ln (2)$ bằng cách di chuyển $- 1$ trong logarit.

$\frac{1}{3} (1 - (e^{\ln (2^{- 1})} - 1))$

Bước 8.1.1.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$\frac{1}{3} (1 - (2^{- 1} - 1))$

Bước 8.1.1.3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} (1 - (\frac{1}{2} - 1))$

Bước 8.1.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (1 - (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}))$

Bước 8.1.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (1 - (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}))$

Bước 8.1.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{3} (1 - \frac{1 - 1 \cdot 2}{2})$

Bước 8.1.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.5.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{3} (1 - \frac{1 - 2}{2})$

Bước 8.1.5.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{3} (1 - \frac{- 1}{2})$

Bước 8.1.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{3} (1 - - \frac{1}{2})$

Bước 8.1.7

Nhân $- - \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.7.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{1}{3} (1 + 1 (\frac{1}{2}))$

Bước 8.1.7.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$\frac{1}{3} (1 + \frac{1}{2})$

Bước 8.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{2} + \frac{1}{2})$

Bước 8.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 + 1}{2}$

Bước 8.4

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Bước 8.5

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Bước 8.5.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2}$

Bước 9

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{1}{2}$

Dạng thập phân:

$0.5$

Bước 10