Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\ln (2)} 2 e^{3 x} d x$

Bước 1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int_{0}^{\ln (2)} e^{3 x} d x$

Bước 2

Giả sử $u = 3 x$ . Sau đó $d u = 3 d x$ , nên $\frac{1}{3} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 3 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 2.1.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Bước 2.1.4

Nhân $3$ với $1$ .

$3$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Bước 2.3

Nhân $3$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 \ln (2)$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Rút gọn $3 \ln (2)$ bằng cách di chuyển $3$ trong logarit.

$u_{upper} = \ln (2^{3})$

Bước 2.5.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$u_{upper} = \ln (8)$

Bước 2.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \ln (8)$

Bước 2.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$2 \int_{0}^{\ln (8)} e^{u} \frac{1}{3} d u$

Bước 3

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{3}$ .

$2 \int_{0}^{\ln (8)} \frac{e^{u}}{3} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{1}{3} \int_{0}^{\ln (8)} e^{u} d u)$

Bước 5

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $2$ .

$\frac{2}{3} \int_{0}^{\ln (8)} e^{u} d u$

Bước 6

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$\frac{2}{3} e^{u}]_{0}^{\ln (8)}$

Bước 7

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tính $e^{u}$ tại $\ln (8)$ và tại $0$ .

$\frac{2}{3} ((e^{\ln (8)}) - e^{0})$

Bước 7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$\frac{2}{3} (8 - e^{0})$

Bước 7.2.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\frac{2}{3} (8 - 1 \cdot 1)$

Bước 7.2.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{2}{3} (8 - 1)$

Bước 7.2.4

Trừ $1$ khỏi $8$ .

$\frac{2}{3} \cdot 7$

Bước 7.2.5

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $7$ .

$\frac{2 \cdot 7}{3}$

Bước 7.2.6

Nhân $2$ với $7$ .

$\frac{14}{3}$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{14}{3}$

Dạng thập phân:

$4.\overline{6}$

Dạng hỗn số:

$4 \frac{2}{3}$

Bước 9