Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{a} x \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = a^{2} - x^{2}$ . Sau đó $d u = - 2 x d x$ , nên $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = a^{2} - x^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $a^{2} - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [a^{2} - x^{2}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $a^{2} - x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 1.1.2.2

Vì $a^{2}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $a^{2}$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Bước 1.1.3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$0 - 2 x$

Bước 1.1.4

Trừ $2 x$ khỏi $0$ .

$- 2 x$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = a^{2} - x^{2}$ .

$u_{lower} = a^{2} - 0^{2}$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$u_{lower} = a^{2} - 0$

Bước 1.3.1.2

Nhân $- 1$ với $0$ .

$u_{lower} = a^{2} + 0$

Bước 1.3.2

Cộng $a^{2}$ và $0$ .

$u_{lower} = a^{2}$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = a^{2} - x^{2}$ .

$u_{upper} = a^{2} - a^{2}$

Bước 1.5

Trừ $a^{2}$ khỏi $a^{2}$ .

$u_{upper} = 0$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = a^{2}$

$u_{upper} = 0$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Bước 2.2

Kết hợp $\sqrt{u}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\int_{a^{2}}^{0} - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int_{a^{2}}^{0} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$- (\frac{1}{2} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u)$

Bước 5

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \int_{a^{2}}^{0} u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{a^{2}}^{0}$

Bước 7

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tính $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ tại $0$ và tại $a^{2}$ .

$- \frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Bước 7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Bước 7.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Bước 7.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Bước 7.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Bước 7.2.4

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Bước 7.2.5

Nhân $\frac{2}{3}$ với $0$ .

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Bước 7.2.6

Nhân các số mũ trong ${(a^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.6.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} a^{2 (\frac{3}{2})})$

Bước 7.2.6.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} a^{2 (\frac{3}{2})})$

Bước 7.2.6.2.2

Viết lại biểu thức.

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} a^{3})$

Bước 7.2.7

Trừ $\frac{2}{3} a^{3}$ khỏi $0$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{2}{3} a^{3})$

Bước 7.2.8

Kết hợp $a^{3}$ và $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{a^{3} \cdot 2}{3})$

Bước 7.2.9

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) \frac{a^{3} \cdot 2}{3}$

Bước 7.2.10

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{a^{3} \cdot 2}{3}$

Bước 7.2.11

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{a^{3} \cdot 2}{3}$ .

$\frac{a^{3} \cdot 2}{2 \cdot 3}$

Bước 7.2.12

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{a^{3} \cdot 2}{6}$

Bước 7.2.13

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $a^{3}$ .

$\frac{2 \cdot a^{3}}{6}$

Bước 7.2.14

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.14.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 a^{3}$ .

$\frac{2 (a^{3})}{6}$

Bước 7.2.14.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.14.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{2 a^{3}}{2 \cdot 3}$

Bước 7.2.14.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 a^{3}}{2 \cdot 3}$

Bước 7.2.14.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{a^{3}}{3}$

Bước 8

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{3} a^{3}$

Bước 9

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $a^{3}$ .

$\frac{a^{3}}{3}$