Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{8} \frac{1}{\sqrt[4]{1 + x}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 1 + x$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 1 + x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + 1$

Bước 1.1.5

Cộng $0$ và $1$ .

$1$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 1 + x$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Bước 1.3

Cộng $1$ và $0$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 1 + x$ .

$u_{upper} = 1 + 8$

Bước 1.5

Cộng $1$ và $8$ .

$u_{upper} = 9$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

Bước 2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[4]{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{4}}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}} d u$

Bước 2.2

Di chuyển $u^{\frac{1}{4}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int_{1}^{9} {(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1} d u$

Bước 2.3

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{9} u^{\frac{1}{4} \cdot - 1} d u$

Bước 2.3.2

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $- 1$ .

$\int_{1}^{9} u^{\frac{- 1}{4}} d u$

Bước 2.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int_{1}^{9} u^{- \frac{1}{4}} d u$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{4}}$ đối với $u$ là $\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}]_{1}^{9}$

Bước 4

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính $\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}$ tại $9$ và tại $1$ .

$(\frac{4}{3} \cdot 9^{\frac{3}{4}}) - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}}$

Bước 4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Kết hợp $\frac{4}{3}$ và $9^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{4 \cdot 9^{\frac{3}{4}}}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}}$

Bước 4.2.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{4 \cdot 9^{\frac{3}{4}}}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1$

Bước 4.2.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{4 \cdot 9^{\frac{3}{4}}}{3} - \frac{4}{3}$

Bước 5

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{4 \cdot 9^{\frac{3}{4}}}{3} - \frac{4}{3}$

Dạng thập phân:

$5.59486989 \dots$

Bước 6