Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{1} {(x^{2} + 1)}^{10} (2 x) d x$

Bước 1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của ${(x^{2} + 1)}^{10}$ .

$\int_{0}^{1} 2 {(x^{2} + 1)}^{10} x d x$

Bước 2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int_{0}^{1} {(x^{2} + 1)}^{10} x d x$

Bước 3

Giả sử $u = x^{2} + 1$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u = x^{2} + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Bước 3.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 3.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 3.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x + 0$

Bước 3.1.5

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 x$

Bước 3.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

Bước 3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Bước 3.3.2

Cộng $0$ và $1$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 3.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

Bước 3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$u_{upper} = 1 + 1$

Bước 3.5.2

Cộng $1$ và $1$ .

$u_{upper} = 2$

Bước 3.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Bước 3.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$2 \int_{1}^{2} u^{10} \frac{1}{2} d u$

Bước 4

Kết hợp $u^{10}$ và $\frac{1}{2}$ .

$2 \int_{1}^{2} \frac{u^{10}}{2} d u$

Bước 5

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{10} d u)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{2}{2} \int_{1}^{2} u^{10} d u$

Bước 6.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{2} \int_{1}^{2} u^{10} d u$

Bước 6.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 \int_{1}^{2} u^{10} d u$

Bước 6.3

Nhân $\int_{1}^{2} u^{10} d u$ với $1$ .

$\int_{1}^{2} u^{10} d u$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{10}$ đối với $u$ là $\frac{1}{11} u^{11}$ .

$\frac{1}{11} u^{11}]_{1}^{2}$

Bước 8

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính $\frac{1}{11} u^{11}$ tại $2$ và tại $1$ .

$(\frac{1}{11} \cdot 2^{11}) - \frac{1}{11} \cdot 1^{11}$

Bước 8.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $11$ .

$\frac{1}{11} \cdot 2048 - \frac{1}{11} \cdot 1^{11}$

Bước 8.2.2

Kết hợp $\frac{1}{11}$ và $2048$ .

$\frac{2048}{11} - \frac{1}{11} \cdot 1^{11}$

Bước 8.2.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{2048}{11} - \frac{1}{11} \cdot 1$

Bước 8.2.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{2048}{11} - \frac{1}{11}$

Bước 8.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2048 - 1}{11}$

Bước 8.2.6

Trừ $1$ khỏi $2048$ .

$\frac{2047}{11}$

Bước 9

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{2047}{11}$

Dạng thập phân:

$186.\overline{09}$

Dạng hỗn số:

$186 \frac{1}{11}$

Bước 10