Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{1} \frac{2}{2 x^{2} + 3 x + 1} d x$

Bước 1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int_{0}^{1} \frac{1}{2 x^{2} + 3 x + 1} d x$

Bước 2

Viết phân số bằng cách khai triển phân số từng phần.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Chia nhỏ phân số và nhân với mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ và có tổng là $b = 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 x$ .

$\frac{1}{2 x^{2} + 3 (x) + 1}$

Bước 2.1.1.1.2

Viết lại $3$ ở dạng $1$ cộng $2$

$\frac{1}{2 x^{2} + (1 + 2) x + 1}$

Bước 2.1.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{2 x^{2} + 1 x + 2 x + 1}$

Bước 2.1.1.1.4

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{1}{2 x^{2} + x + 2 x + 1}$

Bước 2.1.1.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$\frac{1}{(2 x^{2} + x) + 2 x + 1}$

Bước 2.1.1.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$\frac{1}{x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)}$

Bước 2.1.1.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $2 x + 1$ .

$\frac{1}{(2 x + 1) (x + 1)}$

Bước 2.1.2

Với mỗi thừa số dưới mẫu số, ta tạo một phân số mới dùng thừa số đó làm mẫu số và một ẩn số làm tử số. Vì thừa số dưới mẫu số tuyến tính nên ta đặt một biến đơn vào vị trí của nó $A$ .

$\frac{A}{2 x + 1}$

Bước 2.1.3

Với mỗi thừa số dưới mẫu số, ta tạo một phân số mới dùng thừa số đó làm mẫu số và một ẩn số làm tử số. Vì thừa số dưới mẫu số tuyến tính nên ta đặt một biến đơn vào vị trí của nó $B$ .

$\frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{x + 1}$

Bước 2.1.4

Nhân mỗi phân số trong phương trình với mẫu của của biểu thức ban đầu. Trong trường hợp này, mẫu số là $(2 x + 1) (x + 1)$ .

$\frac{1 (2 x + 1) (x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1)} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Bước 2.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $2 x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 (2 x + 1) (x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1)} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Bước 2.1.5.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Bước 2.1.6

Triệt tiêu thừa số chung $x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Bước 2.1.6.2

Viết lại biểu thức.

$1 = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Bước 2.1.7

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.7.1

Triệt tiêu thừa số chung $2 x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.7.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$1 = \frac{A (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Bước 2.1.7.1.2

Chia $(A) (x + 1)$ cho $1$ .

$1 = (A) (x + 1) + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Bước 2.1.7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 = A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Bước 2.1.7.3

Nhân $A$ với $1$ .

$1 = A x + A + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Bước 2.1.7.4

Triệt tiêu thừa số chung $x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.7.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$1 = A x + A + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Bước 2.1.7.4.2

Chia $(B) (2 x + 1)$ cho $1$ .

$1 = A x + A + (B) (2 x + 1)$

Bước 2.1.7.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 = A x + A + B (2 x) + B \cdot 1$

Bước 2.1.7.6

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$1 = A x + A + 2 B x + B \cdot 1$

Bước 2.1.7.7

Nhân $B$ với $1$ .

$1 = A x + A + 2 B x + B$

Bước 2.1.8

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.8.1

Di chuyển $B$ .

$1 = A x + A + 2 x B + B$

Bước 2.1.8.2

Di chuyển $A$ .

$1 = A x + 2 x B + A + B$

Bước 2.2

Tạo các phương trình cho các biến của phân số từng phần và sử dụng chúng để lập một hệ phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của $x$ từ mỗi vế của phương trình bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

$0 = A + 2 B$

Bước 2.2.2

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của các số hạng không chứa $x$ bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

$1 = A + B$

Bước 2.2.3

Lập hệ phương trình để tìm hệ số của các phân số từng phần.

$0 = A + 2 B$

$1 = A + B$

$0 = A + 2 B$

$1 = A + B$

Bước 2.3

Giải hệ phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Giải tìm $A$ trong $0 = A + 2 B$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Viết lại phương trình ở dạng $A + 2 B = 0$ .

$A + 2 B = 0$

$1 = A + B$

Bước 2.3.1.2

Trừ $2 B$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$A = - 2 B$

$1 = A + B$

$A = - 2 B$

$1 = A + B$

Bước 2.3.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $A$ bằng $- 2 B$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $A$ trong $1 = A + B$ bằng $- 2 B$ .

$1 = (- 2 B) + B$

$A = - 2 B$

Bước 2.3.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.1

Cộng $- 2 B$ và $B$ .

$1 = - B$

$A = - 2 B$

$1 = - B$

$A = - 2 B$

$1 = - B$

$A = - 2 B$

Bước 2.3.3

Giải tìm $B$ trong $1 = - B$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $- B = 1$ .

$- B = 1$

$A = - 2 B$

Bước 2.3.3.2

Chia mỗi số hạng trong $- B = 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- B = 1$ cho $- 1$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - 2 B$

Bước 2.3.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{B}{1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - 2 B$

Bước 2.3.3.2.2.2

Chia $B$ cho $1$ .

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - 2 B$

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - 2 B$

Bước 2.3.3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.3.1

Chia $1$ cho $- 1$ .

$B = - 1$

$A = - 2 B$

$B = - 1$

$A = - 2 B$

$B = - 1$

$A = - 2 B$

$B = - 1$

$A = - 2 B$

Bước 2.3.4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $B$ bằng $- 1$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $B$ trong $A = - 2 B$ bằng $- 1$ .

$A = - 2 \cdot - 1$

$B = - 1$

Bước 2.3.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.2.1

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$A = 2$

$B = - 1$

$A = 2$

$B = - 1$

$A = 2$

$B = - 1$

Bước 2.3.5

Liệt kê tất cả các đáp án.

$A = 2, B = - 1$

Bước 2.4

Thay thế từng hệ số phân số từng phần trong $\frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{x + 1}$ bằng các giá trị tìm được cho $A$ và $B$ .

$\frac{2}{2 x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

Bước 2.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2 \int_{0}^{1} \frac{2}{2 x + 1} - \frac{1}{x + 1} d x$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$2 (\int_{0}^{1} \frac{2}{2 x + 1} d x + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Bước 4

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 (2 \int_{0}^{1} \frac{1}{2 x + 1} d x + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Bước 5

Giả sử $u_{1} = 2 x + 1$ . Sau đó $d u_{1} = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u_{1} = 2 x + 1$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Bước 5.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 5.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 5.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 5.1.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 5.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.4.1

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 + 0$

Bước 5.1.4.2

Cộng $2$ và $0$ .

$2$

Bước 5.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u_{1} = 2 x + 1$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0 + 1$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nhân $2$ với $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Bước 5.3.2

Cộng $0$ và $1$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 5.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u_{1} = 2 x + 1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1 + 1$

Bước 5.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Nhân $2$ với $1$ .

$u_{upper} = 2 + 1$

Bước 5.5.2

Cộng $2$ và $1$ .

$u_{upper} = 3$

Bước 5.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

Bước 5.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ , $d u_{1}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$2 (2 \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $\frac{1}{u_{1}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$2 (2 \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Bước 6.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u_{1}$ .

$2 (2 \int_{1}^{3} \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Bước 7

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$2 (2 (\frac{1}{2} \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$2 (\frac{2}{2} \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Bước 8.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (\frac{2}{2} \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Bước 8.2.2

Viết lại biểu thức.

$2 (1 \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Bước 8.3

Nhân $\int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1}} d u_{1}$ với $1$ .

$2 (\int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Bước 9

Tích phân của $\frac{1}{u_{1}}$ đối với $u_{1}$ là $\ln (| u_{1} |)$ .

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{3} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Bước 10

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{3} - \int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} d x)$

Bước 11

Giả sử $u_{2} = x + 1$ . Sau đó $d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Hãy đặt $u_{2} = x + 1$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Tính đạo hàm $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 11.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 11.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 11.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 11.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 11.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u_{2} = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Bước 11.3

Cộng $0$ và $1$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 11.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u_{2} = x + 1$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

Bước 11.5

Cộng $1$ và $1$ .

$u_{upper} = 2$

Bước 11.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Bước 11.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ , $d u_{2}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{3} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Bước 12

Tích phân của $\frac{1}{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{3} - (\ln (| u_{2} |)]_{1}^{2}))$

Bước 13

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Tính $\ln (| u_{1} |)$ tại $3$ và tại $1$ .

$2 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |) - (\ln (| u_{2} |)]_{1}^{2}))$

Bước 13.2

Tính $\ln (| u_{2} |)$ tại $2$ và tại $1$ .

$2 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |) - ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Bước 13.3

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$2 (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |) - (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)))$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 (\ln (\frac{| 3 |}{| 1 |}) - (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)))$

Bước 14.2

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 (\ln (\frac{| 3 |}{| 1 |}) - \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}))$

Bước 14.3

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \ln (\frac{\frac{| 3 |}{| 1 |}}{\frac{| 2 |}{| 1 |}})$

Bước 14.4

Viết lại $\frac{\frac{| 3 |}{| 1 |}}{\frac{| 2 |}{| 1 |}}$ ở dạng một tích.

$2 \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |} \cdot \frac{1}{\frac{| 2 |}{| 1 |}})$

Bước 14.5

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{| 2 |}{| 1 |}$ .

$2 \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |} (1 \frac{| 1 |}{| 2 |}))$

Bước 14.6

Nhân $\frac{| 1 |}{| 2 |}$ với $1$ .

$2 \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |} \cdot \frac{| 1 |}{| 2 |})$

Bước 14.7

Nhân $\frac{| 3 |}{| 1 |}$ với $\frac{| 1 |}{| 2 |}$ .

$2 \ln (\frac{| 3 | | 1 |}{| 1 | | 2 |})$

Bước 14.8

Để nhân các giá trị tuyệt đối, nhân các số hạng bên trong mỗi giá trị tuyệt đối.

$2 \ln (\frac{| 3 \cdot 1 |}{| 1 | | 2 |})$

Bước 14.9

Nhân $3$ với $1$ .

$2 \ln (\frac{| 3 |}{| 1 | | 2 |})$

Bước 14.10

Để nhân các giá trị tuyệt đối, nhân các số hạng bên trong mỗi giá trị tuyệt đối.

$2 \ln (\frac{| 3 |}{| 1 \cdot 2 |})$

Bước 14.11

Nhân $2$ với $1$ .

$2 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

Bước 15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $3$ là $3$ .

$2 \ln (\frac{3}{| 2 |})$

Bước 15.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $2$ là $2$ .

$2 \ln (\frac{3}{2})$

Bước 16

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$2 \ln (\frac{3}{2})$

Dạng thập phân:

$0.81093021 \dots$

Bước 17