Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{1} v^{2} \cos (v^{3}) d v$

Bước 1

Giả sử $u = v^{3}$ . Sau đó $d u = 3 v^{2} d v$ , nên $\frac{1}{3} d u = v^{2} d v$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = v^{3}$ . Tìm $\frac{d u}{d v}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $v^{3}$ .

$\frac{d}{d v} [v^{3}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ là $n v^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 v^{2}$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $v$ trong $u = v^{3}$ .

$u_{lower} = 0^{3}$

Bước 1.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $v$ trong $u = v^{3}$ .

$u_{upper} = 1^{3}$

Bước 1.5

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$u_{upper} = 1$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{0}^{1} \cos (u) \frac{1}{3} d u$

Bước 2

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{1}{3}$ .

$\int_{0}^{1} \frac{\cos (u)}{3} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{1} \cos (u) d u$

Bước 4

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$\frac{1}{3} \sin (u)]_{0}^{1}$

Bước 5

Tính $\sin (u)$ tại $1$ và tại $0$ .

$\frac{1}{3} (\sin (1) - \sin (0))$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{1}{3} (\sin (1) - 0)$

Bước 6.2

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{1}{3} (\sin (1) + 0)$

Bước 6.3

Cộng $\sin (1)$ và $0$ .

$\frac{1}{3} \sin (1)$

Bước 6.4

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $\sin (1)$ .

$\frac{\sin (1)}{3}$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tính $\sin (1)$ .

$\frac{0.84147098}{3}$

Bước 7.2

Chia $0.84147098$ cho $3$ .

$0.28049032$