Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin^{5} (2 x) d x$

Bước 1

Giả sử $u_{1} = 2 x$ . Sau đó $d u_{1} = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{1} = 2 x$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 1.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u_{1} = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Bước 1.3

Nhân $2$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u_{1} = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

Bước 1.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Bước 1.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Bước 1.5.3

Viết lại biểu thức.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ , $d u_{1}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{5} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2

Kết hợp $\sin^{5} (u_{1})$ và $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin^{5} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{5} (u_{1}) d u_{1}$

Bước 4

Đưa $\sin^{4} (u_{1})$ ra ngoài.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{4} (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Bước 5

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {\sin (u_{1})}^{2 (2)} \sin (u_{1}) d u_{1}$

Bước 5.2

Viết lại ${\sin (u_{1})}^{2 (2)}$ dưới dạng số mũ.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\sin^{2} (u_{1}))}^{2} \sin (u_{1}) d u_{1}$

Bước 6

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\sin^{2} (u_{1})$ ở dạng $1 - \cos^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {(1 - \cos^{2} (u_{1}))}^{2} \sin (u_{1}) d u_{1}$

Bước 7

Giả sử $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Sau đó $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ , nên $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Hãy đặt $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Tính đạo hàm $\cos (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

Bước 7.1.2

Đạo hàm của $\cos (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1})$

Bước 7.2

Thay giới hạn dưới vào cho $u_{1}$ trong $u_{2} = \cos (u_{1})$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Bước 7.3

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 7.4

Thay giới hạn trên vào cho $u_{1}$ trong $u_{2} = \cos (u_{1})$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Bước 7.5

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$u_{upper} = 0$

Bước 7.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Bước 7.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ , $d u_{2}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{0} - {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2}$

Bước 8

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2})$

Bước 9

Khai triển ${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Viết lại ${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ ở dạng $(1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2})$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} (1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

Bước 9.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 (1 - {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

Bước 9.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

Bước 9.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} \cdot 1 - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

Bước 9.5

Di chuyển ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

Bước 9.6

Di chuyển ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Bước 9.7

Nhân $1$ với $1$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Bước 9.8

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Bước 9.9

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Bước 9.10

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Bước 9.11

Nhân ${u_{2}}^{2}$ với $1$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Bước 9.12

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2 + 2} d u_{2})$

Bước 9.13

Cộng $2$ và $2$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Bước 9.14

Trừ ${u_{2}}^{2}$ khỏi $- {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 - 2 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Bước 9.15

Sắp xếp lại $- 2 {u_{2}}^{2}$ và ${u_{2}}^{4}$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 + {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Bước 9.16

Di chuyển $1$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} + 1 d u_{2})$

Bước 10

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{2} (- (\int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} d u_{2} + \int_{1}^{0} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

Bước 11

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{2}}^{4}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

Bước 12

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và ${u_{2}}^{5}$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

Bước 13

Vì $- 2$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 \int_{1}^{0} {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

Bước 14

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{2}}^{2}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

Bước 15

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và ${u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

Bước 16

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{1}^{0}) + u_{2}]_{1}^{0}))$

Bước 17

Kết hợp $\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0}$ và $u_{2}]_{1}^{0}$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} + u_{2}]_{1}^{0} - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{1}^{0})))$

Bước 18

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Tính $\frac{{u_{2}}^{5}}{5} + u_{2}$ tại $0$ và tại $1$ .

$\frac{1}{2} (- ((\frac{0^{5}}{5} + 0) - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{1}^{0})))$

Bước 18.2

Tính $\frac{{u_{2}}^{3}}{3}$ tại $0$ và tại $1$ .

$\frac{1}{2} (- ((\frac{0^{5}}{5} + 0) - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Bước 18.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{0}{5} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Bước 18.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.3.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $0$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{5 (0)}{5} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Bước 18.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.3.2.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $5$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Bước 18.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} (- (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Bước 18.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} (- (\frac{0}{1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Bước 18.3.2.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$\frac{1}{2} (- (0 + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Bước 18.3.3

Cộng $0$ và $0$ .

$\frac{1}{2} (- (0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Bước 18.3.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{2} (- (0 - (\frac{1}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Bước 18.3.5

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{1}{2} (- (0 - (\frac{1}{5} + \frac{5}{5}) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Bước 18.3.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} (- (0 - \frac{1 + 5}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Bước 18.3.7

Cộng $1$ và $5$ .

$\frac{1}{2} (- (0 - \frac{6}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Bước 18.3.8

Trừ $\frac{6}{5}$ khỏi $0$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Bước 18.3.9

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{0}{3} - \frac{1^{3}}{3})))$

Bước 18.3.10

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.3.10.1

Đưa $3$ ra ngoài $0$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 (0)}{3} - \frac{1^{3}}{3})))$

Bước 18.3.10.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.3.10.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3})))$

Bước 18.3.10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3})))$

Bước 18.3.10.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{0}{1} - \frac{1^{3}}{3})))$

Bước 18.3.10.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (0 - \frac{1^{3}}{3})))$

Bước 18.3.11

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (0 - \frac{1}{3})))$

Bước 18.3.12

Trừ $\frac{1}{3}$ khỏi $0$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (- \frac{1}{3})))$

Bước 18.3.13

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} + 2 (\frac{1}{3})))$

Bước 18.3.14

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} + \frac{2}{3}))$

Bước 18.3.15

Để viết $- \frac{6}{5}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}))$

Bước 18.3.16

Để viết $\frac{2}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}))$

Bước 18.3.17

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $15$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.3.17.1

Nhân $\frac{6}{5}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}))$

Bước 18.3.17.2

Nhân $5$ với $3$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}))$

Bước 18.3.17.3

Nhân $\frac{2}{3}$ với $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5}))$

Bước 18.3.17.4

Nhân $3$ với $5$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{15}))$

Bước 18.3.18

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} (- \frac{- 6 \cdot 3 + 2 \cdot 5}{15})$

Bước 18.3.19

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.3.19.1

Nhân $- 6$ với $3$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{- 18 + 2 \cdot 5}{15})$

Bước 18.3.19.2

Nhân $2$ với $5$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{- 18 + 10}{15})$

Bước 18.3.19.3

Cộng $- 18$ và $10$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{- 8}{15})$

Bước 18.3.20

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} (- - \frac{8}{15})$

Bước 18.3.21

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} (1 (\frac{8}{15}))$

Bước 18.3.22

Nhân $\frac{8}{15}$ với $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{8}{15}$

Bước 18.3.23

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{8}{15}$ .

$\frac{8}{2 \cdot 15}$

Bước 18.3.24

Nhân $2$ với $15$ .

$\frac{8}{30}$

Bước 18.3.25

Triệt tiêu thừa số chung của $8$ và $30$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.3.25.1

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$\frac{2 (4)}{30}$

Bước 18.3.25.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.3.25.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $30$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 15}$

Bước 18.3.25.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 15}$

Bước 18.3.25.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{4}{15}$

Bước 19

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{4}{15}$

Dạng thập phân:

$0.2\overline{6}$