Giải tích Ví dụ

$\int x {(3 x + 8)}^{11} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 3 x + 8$ . Sau đó $d u = 3 d x$ , nên $\frac{1}{3} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 3 x + 8$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $3 x + 8$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 8]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x + 8$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $3$ với $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [8]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $8$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $8$ đối với $x$ là $0$ .

$3 + 0$

Bước 1.1.4.2

Cộng $3$ và $0$ .

$3$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int (\frac{u}{3} - \frac{8}{3}) u^{11} \frac{1}{3} d u$

Bước 2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $u^{11}$ .

$\int (\frac{u}{3} - \frac{8}{3}) \frac{u^{11}}{3} d u$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \frac{u}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

Bước 3.2

Nhân $\frac{u}{3}$ với $\frac{u^{11}}{3}$ .

$\int \frac{u \cdot u^{11}}{3 \cdot 3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

Bước 3.3

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{11}}{3 \cdot 3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

Bước 3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int \frac{u^{1 + 11}}{3 \cdot 3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

Bước 3.5

Cộng $1$ và $11$ .

$\int \frac{u^{12}}{3 \cdot 3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

Bước 3.6

Nhân $3$ với $3$ .

$\int \frac{u^{12}}{9} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

Bước 3.7

Kết hợp $- \frac{8}{3}$ và $\frac{u^{11}}{3}$ .

$\int \frac{u^{12}}{9} - \frac{8 u^{11}}{3 \cdot 3} d u$

Bước 3.8

Nhân $3$ với $3$ .

$\int \frac{u^{12}}{9} - \frac{8 u^{11}}{9} d u$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \frac{u^{12}}{9} d u + \int - \frac{8 u^{11}}{9} d u$

Bước 5

Vì $\frac{1}{9}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{9}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{9} \int u^{12} d u + \int - \frac{8 u^{11}}{9} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{12}$ đối với $u$ là $\frac{1}{13} u^{13}$ .

$\frac{1}{9} (\frac{1}{13} u^{13} + C) + \int - \frac{8 u^{11}}{9} d u$

Bước 7

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{9} (\frac{1}{13} u^{13} + C) - \int \frac{8 u^{11}}{9} d u$

Bước 8

Vì $\frac{8}{9}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{8}{9}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{9} (\frac{1}{13} u^{13} + C) - (\frac{8}{9} \int u^{11} d u)$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{11}$ đối với $u$ là $\frac{1}{12} u^{12}$ .

$\frac{1}{9} (\frac{1}{13} u^{13} + C) - \frac{8}{9} (\frac{1}{12} u^{12} + C)$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{13} u^{13} - \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{12} u^{12} + C$

Bước 10.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Nhân $\frac{1}{9}$ với $\frac{1}{13}$ .

$\frac{1}{9 \cdot 13} u^{13} - \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{12} u^{12} + C$

Bước 10.2.2

Nhân $9$ với $13$ .

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{12} u^{12} + C$

Bước 10.2.3

Nhân $\frac{1}{12}$ với $\frac{8}{9}$ .

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{8}{12 \cdot 9} u^{12} + C$

Bước 10.2.4

Nhân $12$ với $9$ .

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{8}{108} u^{12} + C$

Bước 10.2.5

Triệt tiêu thừa số chung của $8$ và $108$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.5.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{4 (2)}{108} u^{12} + C$

Bước 10.2.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.5.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $108$ .

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 27} u^{12} + C$

Bước 10.2.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 27} u^{12} + C$

Bước 10.2.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{2}{27} u^{12} + C$

Bước 11

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x + 8$ .

$\frac{1}{117} {(3 x + 8)}^{13} - \frac{2}{27} {(3 x + 8)}^{12} + C$