Giải tích Ví dụ

$\int u \sqrt{1 - u^{2}} d u$

Bước 1

Giả sử $u_{1} = 1 - u^{2}$ . Sau đó $d u_{1} = - 2 u d u$ , nên $- \frac{1}{2} d u_{1} = u d u$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{1} = 1 - u^{2}$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d u}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $1 - u^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [1 - u^{2}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{d}{d u} [1] + \frac{d}{d u} [- u^{2}]$ .

$\frac{d}{d u} [1] + \frac{d}{d u} [- u^{2}]$

Bước 1.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $u$ , đạo hàm của $1$ đối với $u$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d u} [- u^{2}]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d u} [- u^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , nên đạo hàm của $- u^{2}$ đối với $u$ là $- \frac{d}{d u} [u^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d u} [u^{2}]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 - (2 u)$

Bước 1.1.3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$0 - 2 u$

Bước 1.1.4

Trừ $2 u$ khỏi $0$ .

$- 2 u$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int \sqrt{u_{1}} \frac{1}{- 2} d u_{1}$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int \sqrt{u_{1}} (- \frac{1}{2}) d u_{1}$

Bước 2.2

Kết hợp $\sqrt{u_{1}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{\sqrt{u_{1}}}{2} d u_{1}$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int \frac{\sqrt{u_{1}}}{2} d u_{1}$

Bước 4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$- (\frac{1}{2} \int \sqrt{u_{1}} d u_{1})$

Bước 5

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u_{1}}$ ở dạng ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \int {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ đối với $u_{1}$ là $\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết lại $- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C)$ ở dạng $- \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Nhân $\frac{2}{3}$ với $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 2} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 7.2.2

Nhân $3$ với $2$ .

$- \frac{2}{6} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 7.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$- \frac{2 (1)}{6} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 7.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 7.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 7.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{1}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $1 - u^{2}$ .

$- \frac{1}{3} {(1 - u^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$