Giải tích Ví dụ

$\int x \arctan (7 x) d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \arctan (7 x)$ và $d v = x$ .

$\arctan (7 x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{7}{49 x^{2} + 1} d x$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$\arctan (7 x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{7}{49 x^{2} + 1} d x$

Bước 2.2

Kết hợp $\arctan (7 x)$ và $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{7}{49 x^{2} + 1} d x$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{7}{49 x^{2} + 1} d x)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{7}{49 x^{2} + 1}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2} \cdot 7}{49 x^{2} + 1} d x)$

Bước 4.2

Di chuyển $7$ sang phía bên trái của $x^{2}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{7 x^{2}}{49 x^{2} + 1} d x$

Bước 5

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $7$ ra khỏi tích phân.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (7 \int \frac{x^{2}}{49 x^{2} + 1} d x)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $7$ với $- 1$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - 7 (\frac{1}{2}) \int \frac{x^{2}}{49 x^{2} + 1} d x$

Bước 6.2

Kết hợp $- 7$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} + \frac{- 7}{2} \int \frac{x^{2}}{49 x^{2} + 1} d x$

Bước 6.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} \int \frac{x^{2}}{49 x^{2} + 1} d x$

Bước 7

Chia $x^{2}$ cho $49 x^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$49 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Bước 7.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $x^{2}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $49 x^{2}$ .

							$\frac{1}{49}$
	$49 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Bước 7.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

						$\frac{1}{49}$
$49 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$\frac{1}{49}$

Bước 7.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $x^{2} + 0 + \frac{1}{49}$

						$\frac{1}{49}$
$49 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$\frac{1}{49}$

Bước 7.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

						$\frac{1}{49}$
$49 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$\frac{1}{49}$
									-	$\frac{1}{49}$

Bước 7.6

Đáp án cuối cùng là thương cộng với phần còn lại trên số chia.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} \int \frac{1}{49} - \frac{1}{49 (49 x^{2} + 1)} d x$

Bước 8

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\int \frac{1}{49} d x + \int - \frac{1}{49 (49 x^{2} + 1)} d x)$

Bước 9

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C + \int - \frac{1}{49 (49 x^{2} + 1)} d x)$

Bước 10

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \int \frac{1}{49 (49 x^{2} + 1)} d x)$

Bước 11

Vì $\frac{1}{49}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{49}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - (\frac{1}{49} \int \frac{1}{49 x^{2} + 1} d x))$

Bước 12

Sắp xếp lại $49 x^{2}$ và $1$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49} \int \frac{1}{1 + 49 x^{2}} d x)$

Bước 13

Đưa $49$ ra ngoài $1 + 49 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Đưa $49$ ra ngoài $1$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49} \int \frac{1}{49 (\frac{1}{49}) + 49 x^{2}} d x)$

Bước 13.2

Đưa $49$ ra ngoài $49 x^{2}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49} \int \frac{1}{49 (\frac{1}{49}) + 49 (x^{2})} d x)$

Bước 13.3

Đưa $49$ ra ngoài $49 (\frac{1}{49}) + 49 (x^{2})$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49} \int \frac{1}{49 (\frac{1}{49} + x^{2})} d x)$

Bước 14

Vì $\frac{1}{49}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{49}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49} (\frac{1}{49} \int \frac{1}{\frac{1}{49} + x^{2}} d x))$

Bước 15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Nhân $\frac{1}{49}$ với $\frac{1}{49}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49 \cdot 49} \int \frac{1}{\frac{1}{49} + x^{2}} d x)$

Bước 15.2

Nhân $49$ với $49$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} \int \frac{1}{\frac{1}{49} + x^{2}} d x)$

Bước 16

Viết lại $\frac{1}{49}$ ở dạng ${(\frac{1}{7})}^{2}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} \int \frac{1}{{(\frac{1}{7})}^{2} + x^{2}} d x)$

Bước 17

Tích phân của $\frac{1}{{(\frac{1}{7})}^{2} + x^{2}}$ đối với $x$ là $\frac{1}{\frac{1}{7}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{7}}) + C$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} (\frac{1}{\frac{1}{7}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{7}}) + C))$

Bước 18

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{7}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} (1 \cdot 7 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{7}}) + C))$

Bước 18.1.2

Nhân $7$ với $1$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} (7 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{7}}) + C))$

Bước 18.1.3

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{7}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} (7 \arctan (x \cdot 7) + C))$

Bước 18.1.4

Di chuyển $7$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} (7 \arctan (7 x) + C))$

Bước 18.2

Rút gọn.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343}) + C$

Bước 18.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.3.1

Để viết $- \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Bước 18.3.2

Kết hợp $- \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} + \frac{- \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343}) \cdot 2}{2} + C$

Bước 18.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343}) \cdot 2}{2} + C$

Bước 18.3.4

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - 2 (\frac{7}{2}) (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Bước 18.3.5

Kết hợp $- 2$ và $\frac{7}{2}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{- 2 \cdot 7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Bước 18.3.6

Nhân $- 2$ với $7$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{- 14}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Bước 18.3.7

Triệt tiêu thừa số chung của $- 14$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.3.7.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 14$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Bước 18.3.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.3.7.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 7}{2 (1)} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Bước 18.3.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 7}{2 \cdot 1} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Bước 18.3.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{- 7}{1} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Bước 18.3.7.2.4

Chia $- 7$ cho $1$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - 7 (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Bước 18.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - 7 \frac{x}{49} - 7 (- \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Bước 18.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.4.2.1

Đưa $7$ ra ngoài $- 7$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + 7 (- 1) \frac{x}{49} - 7 (- \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Bước 18.4.2.2

Đưa $7$ ra ngoài $49$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + 7 \cdot - 1 \frac{x}{7 \cdot 7} - 7 (- \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Bước 18.4.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + 7 \cdot - 1 \frac{x}{7 \cdot 7} - 7 (- \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Bước 18.4.2.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} - 7 (- \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Bước 18.4.3

Triệt tiêu thừa số chung $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.4.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{\arctan (7 x)}{343}$ vào tử số.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} - 7 \frac{- \arctan (7 x)}{343}}{2} + C$

Bước 18.4.3.2

Đưa $7$ ra ngoài $- 7$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} + 7 (- 1) \frac{- \arctan (7 x)}{343}}{2} + C$

Bước 18.4.3.3

Đưa $7$ ra ngoài $343$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} + 7 \cdot - 1 \frac{- \arctan (7 x)}{7 \cdot 49}}{2} + C$

Bước 18.4.3.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} + 7 \cdot - 1 \frac{- \arctan (7 x)}{7 \cdot 49}}{2} + C$

Bước 18.4.3.5

Viết lại biểu thức.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} - \frac{- \arctan (7 x)}{49}}{2} + C$

Bước 18.4.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.4.4.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} - - \frac{\arctan (7 x)}{49}}{2} + C$

Bước 18.4.4.2

Nhân $- - \frac{\arctan (7 x)}{49}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.4.4.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} + 1 \frac{\arctan (7 x)}{49}}{2} + C$

Bước 18.4.4.2.2

Nhân $\frac{\arctan (7 x)}{49}$ với $1$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} + \frac{\arctan (7 x)}{49}}{2} + C$

Bước 19

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{2} (\arctan (7 x) x^{2} - \frac{1}{7} x + \frac{1}{49} \arctan (7 x)) + C$