Giải tích Ví dụ

$\int x \sin (\frac{1}{6} x) d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = \sin (\frac{1}{6} x)$ .

$x (- 6 \cos (\frac{1}{6} x)) - \int - 6 \cos (\frac{1}{6} x) d x$

Bước 2

Vì $- 6$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 6$ ra khỏi tích phân.

$x (- 6 \cos (\frac{1}{6} x)) - (- 6 \int \cos (\frac{1}{6} x) d x)$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $\frac{1}{6}$ và $x$ .

$x (- 6 \cos (\frac{x}{6})) - (- 6 \int \cos (\frac{1}{6} x) d x)$

Bước 3.2

Kết hợp $\frac{1}{6}$ và $x$ .

$x (- 6 \cos (\frac{x}{6})) - (- 6 \int \cos (\frac{x}{6}) d x)$

Bước 3.3

Nhân $- 6$ với $- 1$ .

$x (- 6 \cos (\frac{x}{6})) + 6 \int \cos (\frac{x}{6}) d x$

Bước 4

Giả sử $u = \frac{x}{6}$ . Sau đó $d u = \frac{1}{6} d x$ , nên $6 d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = \frac{x}{6}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $\frac{x}{6}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{6}]$

Bước 4.1.2

Vì $\frac{1}{6}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{6}$ đối với $x$ là $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{6} \cdot 1$

Bước 4.1.4

Nhân $\frac{1}{6}$ với $1$ .

$\frac{1}{6}$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$x (- 6 \cos (\frac{x}{6})) + 6 \int \cos (u) \frac{1}{\frac{1}{6}} d u$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{6}$ .

$x (- 6 \cos (\frac{x}{6})) + 6 \int \cos (u) (1 \cdot 6) d u$

Bước 5.2

Nhân $6$ với $1$ .

$x (- 6 \cos (\frac{x}{6})) + 6 \int \cos (u) \cdot 6 d u$

Bước 5.3

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $\cos (u)$ .

$x (- 6 \cos (\frac{x}{6})) + 6 \int 6 \cos (u) d u$

Bước 6

Vì $6$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$x (- 6 \cos (\frac{x}{6})) + 6 (6 \int \cos (u) d u)$

Bước 7

Nhân $6$ với $6$ .

$x (- 6 \cos (\frac{x}{6})) + 36 \int \cos (u) d u$

Bước 8

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$x (- 6 \cos (\frac{x}{6})) + 36 (\sin (u) + C)$

Bước 9

Viết lại $x (- 6 \cos (\frac{x}{6})) + 36 (\sin (u) + C)$ ở dạng $- 6 x \cos (\frac{x}{6}) + 36 \sin (u) + C$ .

$- 6 x \cos (\frac{x}{6}) + 36 \sin (u) + C$

Bước 10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x}{6}$ .

$- 6 x \cos (\frac{x}{6}) + 36 \sin (\frac{x}{6}) + C$

Bước 11

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 6 x \cos (\frac{1}{6} x) + 36 \sin (\frac{1}{6} x) + C$