Giải tích Ví dụ

$\int \sin (π x) \cos (π x) d x$

Bước 1

Giả sử $u_{2} = \sin (π x)$ . Sau đó $d u_{2} = π \cos (π x) d x$ , nên $\frac{1}{π} d u_{2} = \cos (π x) d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{2} = \sin (π x)$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\sin (π x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (π x)]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = π x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $π x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [π x]$

Bước 1.1.2.2

Đạo hàm của $\sin (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [π x]$

Bước 1.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $π x$ .

$\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $π$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $π x$ đối với $x$ là $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\cos (π x) (π \cdot 1)$

Bước 1.1.3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.3.1

Nhân $π$ với $1$ .

$\cos (π x) π$

Bước 1.1.3.3.2

Sắp xếp lại các thừa số của $\cos (π x) π$ .

$π \cos (π x)$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\int u_{2} \frac{1}{π} d u_{2}$

Bước 2

Kết hợp $u_{2}$ và $\frac{1}{π}$ .

$\int \frac{u_{2}}{π} d u_{2}$

Bước 3

Vì $\frac{1}{π}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{π}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{π} \int u_{2} d u_{2}$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u_{2}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{π} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại $\frac{1}{π} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ ở dạng $\frac{1}{π} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nhân $\frac{1}{π}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{π \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

Bước 5.2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $π$ .

$\frac{1}{2 π} {u_{2}}^{2} + C$

Bước 6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\sin (π x)$ .

$\frac{1}{2 π} \sin^{2} (π x) + C$