Giải tích Ví dụ

$\int_{a}^{b} 3 e^{2 t} d t$

Bước 1

Vì $3$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 \int_{a}^{b} e^{2 t} d t$

Bước 2

Giả sử $u = 2 t$ . Sau đó $d u = 2 d t$ , nên $\frac{1}{2} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 2 t$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Bước 2.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 2.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $t$ trong $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 a$

Bước 2.3

Thay giới hạn trên vào cho $t$ trong $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 b$

Bước 2.4

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 2 a$

$u_{upper} = 2 b$

Bước 2.5

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$3 \int_{2 a}^{2 b} e^{u} \frac{1}{2} d u$

Bước 3

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{2}$ .

$3 \int_{2 a}^{2 b} \frac{e^{u}}{2} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$3 (\frac{1}{2} \int_{2 a}^{2 b} e^{u} d u)$

Bước 5

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $3$ .

$\frac{3}{2} \int_{2 a}^{2 b} e^{u} d u$

Bước 6

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$\frac{3}{2} e^{u}]_{2 a}^{2 b}$

Bước 7

Tính $e^{u}$ tại $2 b$ và tại $2 a$ .

$\frac{3}{2} (e^{2 b} - e^{2 a})$