Giải tích Ví dụ

\int arccot (x) d x

$\int arccot (x) d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức

\int u d v = u v - \int v d u

$\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó

u = arccot (x)

$u = arccot (x)$ và

d v = 1

$d v = 1$ .

arccot (x) x - \int x (- \frac{1}{1 + x^{2}}) d x

$arccot (x) x - \int x (- \frac{1}{1 + x^{2}}) d x$

Bước 2

Kết hợp

x

$x$ và

\frac{1}{1 + x^{2}}

$\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

arccot (x) x - \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x

$arccot (x) x - \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Bước 3

Vì

- 1

$- 1$ không đổi đối với

x

$x$ , hãy di chuyển

- 1

$- 1$ ra khỏi tích phân.

arccot (x) x - - \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x

$arccot (x) x - - \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân

- 1

$- 1$ với

- 1

$- 1$ .

arccot (x) x + 1 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x

$arccot (x) x + 1 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Bước 4.2

Nhân

\int \frac{x}{1 + x^{2}} d x

$\int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$ với

1

$1$ .

arccot (x) x + \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x

$arccot (x) x + \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

arccot (x) x + \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x

$arccot (x) x + \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Bước 5

Giả sử

u = 1 + x^{2}

$u = 1 + x^{2}$ . Sau đó

d u = 2 x d x

$d u = 2 x d x$ , nên

\frac{1}{2} d u = x d x

$\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng

u

$u$ và

d

$d$

u

$u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt

u = 1 + x^{2}

$u = 1 + x^{2}$ . Tìm

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm

1 + x^{2}

$1 + x^{2}$ .

\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Bước 5.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của

1 + x^{2}

$1 + x^{2}$ đối với

x

$x$ là

\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 5.1.3

Vì

1

$1$ là hằng số đối với

x

$x$ , đạo hàm của

1

$1$ đối với

x

$x$ là

0

$0$ .

0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 5.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ trong đó

n = 2

$n = 2$ .

0 + 2 x

$0 + 2 x$

Bước 5.1.5

Cộng

0

$0$ và

2 x

$2 x$ .

2 x

$2 x$

2 x

$2 x$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng

u

$u$ và

d u

$d u$ .

arccot (x) x + \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u

$arccot (x) x + \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

arccot (x) x + \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u

$arccot (x) x + \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân

\frac{1}{u}

$\frac{1}{u}$ với

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

arccot (x) x + \int \frac{1}{u \cdot 2} d u

$arccot (x) x + \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Bước 6.2

Di chuyển

2

$2$ sang phía bên trái của

u

$u$ .

arccot (x) x + \int \frac{1}{2 u} d u

$arccot (x) x + \int \frac{1}{2 u} d u$

arccot (x) x + \int \frac{1}{2 u} d u

$arccot (x) x + \int \frac{1}{2 u} d u$

Bước 7

Vì

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ không đổi đối với

u

$u$ , hãy di chuyển

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

arccot (x) x + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u

$arccot (x) x + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 8

Tích phân của

\frac{1}{u}

$\frac{1}{u}$ đối với

u

$u$ là

ln (| u |)

$\ln (| u |)$ .

arccot (x) x + \frac{1}{2} (ln (| u |) + C)

$arccot (x) x + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Bước 9

Rút gọn.

$arccot (x) x + \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Bước 10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của

$u$ với

$1 + x^{2}$ .

$arccot (x) x + \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C$