Giải tích Ví dụ

$\int 3 x^{2} - \sqrt{5 x} + 2 d x$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 3 x^{2} d x + \int - \sqrt{5 x} d x + \int 2 d x$

Bước 2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 \int x^{2} d x + \int - \sqrt{5 x} d x + \int 2 d x$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - \sqrt{5 x} d x + \int 2 d x$

Bước 4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - \int \sqrt{5 x} d x + \int 2 d x$

Bước 5

Giả sử $u = 5 x$ . Sau đó $d u = 5 d x$ , nên $\frac{1}{5} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = 5 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Bước 5.1.2

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Bước 5.1.4

Nhân $5$ với $1$ .

$5$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - \int \sqrt{u} \frac{1}{5} d u + \int 2 d x$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - \int \sqrt{u} \frac{1}{5} d u + \int 2 d x$

Bước 6.2

Kết hợp $\sqrt{u}$ và $\frac{1}{5}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - \int \frac{\sqrt{u}}{5} d u + \int 2 d x$

Bước 7

Vì $\frac{1}{5}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{5}$ ra khỏi tích phân.

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - (\frac{1}{5} \int \sqrt{u} d u) + \int 2 d x$

Bước 8

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{1}{5} \int u^{\frac{1}{2}} d u + \int 2 d x$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{1}{5} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \int 2 d x$

Bước 10

Áp dụng quy tắc hằng số.

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{1}{5} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + 2 x + C$

Bước 11

Rút gọn.

$x^{3} - \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{15} + 2 x + C$

Bước 12

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $5 x$ .

$x^{3} - \frac{2 {(5 x)}^{\frac{3}{2}}}{15} + 2 x + C$

Bước 13

Sắp xếp lại các số hạng.

$x^{3} - \frac{2}{15} {(5 x)}^{\frac{3}{2}} + 2 x + C$